Автокореляція
Як нам уже відомо, за припущенням 4 залишки еjє випадкавими незалежними між собою величинами, ще мають нульове очікування. Порушення цього припущення називається автокореляцією. Вона призводить до того, що оцінки аi лінійної моделі, знайдені за методом найменших квадратів, будуть незміщеними, обгрунтованими, але неефективними. Автокореляція може виникати, якщо залежність описується лінійною моделлю, а насправді зв’язок y з пояснюючими змінними xi має нелінійний характер. Таким випадкам можна протиставити більш адекватну форму специфікації моделі. Іншою причиною корельованості залишків може бути дія якогось суттевого фактора, не включеного в модель і який може невипадковим чином впливати на величину відхилень еj, наприклад, сезонні умови. Такі фактори можна знайти. Серйозною причиною автокореляції залишків є інерційність економічних процесів у часі, коли економетрична модель будується на основі часових рядів.
Автокореляція залишків – це кореляція залишків з тими ж залишками, взятими з деяким запізненням, тобто це кореляція ряду е1, е2, … ,еn з рядом
е1-к, е2-к,…, еn-к. Кореляція між сусідніми членами ряду (к= 1) називається автокореляцією першого порядку. Найпоширенішим тестом на наявність автокореляції залишків першого порядку є тест Дарбіна – Уотсона, який грунтується на статистиці
DW = 
. (3.12)
Доведено, що DW ≈ 2 і може набувати значення в проміжку (0 − 4 ). При відсутності автокореляції (
= 0) статистика DW набуває значень, близьких до 2, при додатній автокореляції (0 < < 1) – значення від 0 до 2, при від’ємій (– 1 < < 0) – від 2 до 4.
Перевірка наявності або відсутності автокореляції залишків проводиться шляхом порівняння фактичного значення DW з критичними, які знаходимо за спеціальною таблицею залежно від рівня значущості Р, кількості факторів m і кількості спостережень n (додаток 5). Таблиця містить два критичних значення: нижнє dн для визначення додатної автокореляції і верхнє dв – для визначення від’ємної автокореляції (рис. 3.3).
| додатна автокореляція | ? | автокореляція відсутня | ? | від’ємна автокореляція |
0 dн dв 2 4 – dв 4 – dн 4
Рис. 3.3 − Тест Дарбіна – Уотсона
Перевіримо за допомогою тесту Дарбіна – Уотсона існування автокореляції залишків першого порядку для економетричної моделі рентабельності витрат (3.3).
Таблиця 3.3 − Попередні розрахунки для визначення статистики DW
| j | Pj | 
| еj | еj2 | 
| 
|
| 6,7 | 6,84 | – 0,14 | 0,020 | – | – | |
| 7,3 | 7,15 | 0,15 | 0,021 | 0,001 | ||
| 11,5 | 11,31 | 0,19 | 0,036 | 0,015 | ||
| … | … | … | … | … | … | … |
| 12,0 | 11,10 | 0,90 | 0,81 | 0,798 | 0,637 | |
| 9,5 | 10,06 | – 0,56 | 0,314 | – 0,496 | 0,246 | |
| ∑ | 282,6 | 282,6 | 10,673 | – | 11,936 |
У табл. 3.3 наведені фактичні значення рентабельності за спостереженнями Р, значення оцінок рентабельності
, розрахованних за економетричною моделлю (3.3), значення залишків еj = Рj – j, й відповідні суми квадратів, які необхідні для обчислення фактичного значення статистики DW. Підставляючи їх у формулу (3.12), отримуємо
DW =
= 1,118.
Порівняємо це значення з табличними (див. додаток 6) для рівня значущості 0,99, кількості факторів m = 2 та кількості спостережень n = 29. Критичні значення DW такі: dн = 1,05 – нижня межа, dв = 1,33 – верхня межа. Оскільки фактичне значення DW задовольняє умову (див. рис. 3.3) dн < DW < dв (1,05 < 1,118 < 1,33), то приймаємо гіпотезу про невизначеність наявності автокореляції залишків в економетричній моделі (3.3). Отже немає достатніх підстав брати під сумнів незміщеність, обгрунтованість та ефективність МНК – оцінок параметрів регресійного рівняння рентабельності (3.3), тобто
Р = 3,2427 + 0,6556 Е + 0, 0569 К.
Виникає запитання: що робити, коли виявлена гетероскедастичність або автокореляція залишків? Парамерти регресії можуть бути незміщеними і обгрунтованними, але не ефективними, тобто дисперсія залишків буде великою.
Можна дати декілька порад. По – перше, можна віднайти якийсь новий фактор, який апроксиміював би явище гетерескедастичності або автокореляції. По – друге, їх негативний вплив можна зменшити щляхом підбору більш адекватної форми регресії, або перетворенням змінних. Ці дві поради пов’язані зі зміною специфікації моделі. По – третє, для оцінювання параметрів рівняння регресії треба застосовувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).