Прогнозування на парних моделях

Парну (просту) лінійну регресію

після перевірки її на адекватність і значущість параметрів і (див. підрозділ 5.7) ми можемо використовувати для прогнозування (розрахунків) залежної змінної у для будь-яких прогнозних значень змінної х. Слід мати на увазі, що рівняння регресії надійно відображає залежність в межах абсолютного розмаху варіації х (). Тому при прогнозних значеннях х, що виходять за ці межі, надійність прогнозу знижується. Отже інтерполяція за регресією незаперечна, а інтерполяція має бути обережною.

Розрізняють два типа прогнозів за рівнянь регресії: точкові й інтервальні.

Точковий прогноз залежної змінної визначають підстановкою у рівняння регресії прогнозного значення фактора :

.

Прогнозне значення є точковою оцінкою дійсного значення , яке, як відомо, дорівнює

,

де - значення неспостережуваної випадкової величини. Оскільки дійсне значення відрізняється від прогнозного, то необхідна побудова інтервального прогнозу – інтервалу довіри для , в якому із заданою ймовірністю буде знаходиться дійсне значення .

Інтервал довіри для математичного сподівання визначається за формулою

, (3.24)

де, як і раніше, - середньоквадратичне відхилення випадкової величини е . Нагадаємо, що

.

Розглянемо умовний приклад. Рівняння регресії має такий вигляд:

;

=22; - 0,75; =8,06; =22,3. Тоді, для прогнозного значення =10 точковий прогноз становить

=5,67+2,72*10=32,87.

Інтервал довіри за формулою (3.24) дорівнює

σ= 0,75.

Отже, дійсне значення з ймовірністю 0,95 має знаходитися в межах

32,87 – 0,35 ≤≤ 32,87+0,35,

або

32,52 ≤≤ 33,22.

Зауважимо, що помилка прогнозу не постійна. Як видно з формули (3.24), в міру збільшення або зменшення прогнозних значень відносно помилка прогнозу зростає. Наприклад, при =15 помилка прогнозу зросте за формулою (3.24) до 1,11. якщо =5, то вона також буде більшою, а саме 0,51. Найменша помилка прогнозу буде для ==8,06, в цьому разі вона дорівнює всього 0,16.

Отже на віддалених ділянках варіації незалежної змінної помилки прогнозу залежної змінної зростають, а довіра до прогнозу зменшується (рис.3.4).

Рис. 3.4 − Границі помилок прогнозу для парної лінійної регресії

Інтервали довіри до прогнозу будуються заздалегідь шляхом варіювання в розумних межах. Це усуває необхідність визначати інтервали довіри в кожному окремому випадку прогнозування залежної змінної.