Графическое представление основных операций

Название Операции	Графическое представление
Дополнение
Пересечение I (минимум: невзаимодействующие переменные)
Объеди-нение I (максимум: невзаимодействующие переменные)
Разность

 

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

· - коммутативность;

· - ассоциативность;

· - идемпотентность;

· - дистрибутивность;

· AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, т.е. mÆ(x) = 0 ">xÎE;

· AÇÆ = Æ;

· AÇE = A, где E - универсальное множество;

· AÈE = E.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AÇ ¹ Æ,

AÈ ¹ E.

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция T:[0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

1. T(0,0)=0; T(m_A, 1) = m_A; T(1,m _A) = m_A - ограниченность;

2. T(m_A, m_B) £T(m_C, m_D), если m_A£m_C , m_B£m_D - монотонность;

3. T(m_A , m _B) = T(m_B, m_A)- коммутативность;

4. T(m_A, T(m _B, m_C))= T( T(m_A, m_B), m_C) – ассоциативность.

Простым случаем треугольных норм являются:

min(m_A ,m _B)

произведение m_A×m_B

max(0,m_A +m _B -1).

Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция ^:[0,1]´[0,1]® [0,1], со свойствами:

1. T(1,1) = 1; T(m_A ,0) = m _A ; T(0, m _A) = m_A - ограниченность;

2. T(m_A, m_B )³ T(m_C, m_D ), если m_A ³m_C , m_B ³m_D - монотонность;

3. T(m_A , m_B ) = T(m_B , m_A ) - коммутативность;

4. T(m_A, T(m_B , m_C )) = T(T(m_A , m_B ), m_C ) - ассоциативность.

Примеры t-конорм:

max(m_A, m _B)

m_A + m_B - m_A× m_B

min(1,m_A + m_B).

1.4.4. Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A^.B и определяется так: