Диференціальні рівняння першого порядку мають вигляд або . Функція буде загальним розв’язком таких рівнянь, якщо при любих значеннях сталої вона є розв’язком даних рівнянь і при єдиному значенні задовольняє початковим умовам вигляду або такого вигляду
Геометрично функція описує множину інтегральних кривих. Розв’язк називається частинним розв’язком і виражає одну інтегральну криву.
Проінтегрувати або знайти загальний розвиток диференціальних рівнянь першого порядку можна певними методами, які годяться для відповідних класів рівнянь.
Диференціальними рівняннями з відокремлюваними змінними називаються рівняння вигляду (3)
Записавши похідну у вигляді , одержимо рівняння або
, або . Тут змінні відокремились і це
рівняння можемо проінтегрувати: . (4)
Вираз (4) називається загальним інтегралом диференціального рівняння (3).
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .
Розв’язання. Розв'яжемо рівняння відносно похідної. Одержимо
Відповідь: - загальний розв’язок диференціального рівняння.
Однорідним рівнянням першого порядку називають рівняння вигляду
.
За допомогою заміни змінної дане рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними:, яке можна проінтегрувати.
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .
Розв’язання. Розв’яжемо дане рівняння відносно і одержимо однорідне рівняння:
Заміна змінної приведе до рівняння з відокремлюваними змінними:
Позначимо Одержимо
Змінні відокремились і рівняння можна проінтегрувати:
Відповідь: Функція є загальним розв’язком однорідного рівняння.
Лінійними рівняннями першого порядку називаються рівняння вигляду
де - задані функції.
Будемо шукати загальний розв’язок даного рівняння у вигляді добутку двох функцій і , тобто , а .
Тоді лінійне рівняння перепишеться у вигляді
.
На функцію накладено таку умову, щоб вираз дорівнював нулю. Одержимо а .
Ці рівняння є рівняннями з відокремлюваними змінними. Після знаходження функції і підстановки її у друге рівняння одержимо функцію . Їх добуток дасть загальний розв'язок лінійного рівняння. Існують інші методи розв’язування лінійних рівнянь.
Зауваження. Розглянутим методом можна розв’язувати рівняння вигляду
,
де - довільне число, а рівняння називається рівнянням Бернуллі.
Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .
Розв’язання. Це лінійне рівняння першого порядку, де , а . Будемо шукати загальний розв'язок цього рівняння у вигляді , а . Одержимо:
. Якщо то .
Розв’язуємо послідовні ці рівняння.
Загальний розв'язок лінійного рівняння має вигляд: .
Відповідь: функція є загальним розв’язком лінійного рівняння.
Диференціальні рівняння другого порядку
Рівняння другого порядку мають вигляд або , а початкові умови записуються так:
До рівнянь другого порядку, які допускають зниження порядку належать рівняння: .
Розглянемо послідовно, як здійснюється зниження порядку і як інтегрувати кожне із них. Ці рівняння необхідно інтегрувати двічі.
Рівняння можна записати у вигляді або і проінтегрувати: . Одержане рівняння першого порядку необхідно ще раз проінтегрувати.
Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .
Розв’язання. Другу похідну перепишемо у вигляді , тобто . Одержимо:
Одержали рівняння першого порядку, яке можна проінтегрувати:
Відповідь: функція є загальним розв’язком рівняння другого порядку.
Рівняння за допомогою заміни зводяться до рівняння першого порядку вигляду , яке уміємо розв’язувати. Якщо, наприклад, , то , а .
Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння
Розв’язання. Позначимо . Одержимо рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
- загальний розв'язок рівняння.
Рівняння за допомогою заміни змінної зводиться до рівняння першого порядку, яке уміємо інтегрувати.
Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .
Розв’язання. У рівнянні відсутня змінна , тому введемо заміну вигляду а . Після підстановки одержимо рівняння першого порядку, у
якому змінні відокремляться і його можна проінтегрувати.
Відповідь: функція є загальним розв’язком диференціального рівняння.
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
Лінійні рівняння другого порядку мають вигляд
, (5)
де - деякі неперервні функції, а . Якщо , то лінійне рівняння (6)
називається лінійним однорідним.
Структура загального розв’язку для лінійних однорідних рівнянь (6) має вигляд , (7)
де - сталі величини, а та - функції, які складають фундаментальну систему розв’язків для даного рівняння.
Для лінійних неоднорідних рівнянь (5) структура загального розв'язку є такою: , (8)
де є загальним розв’язком однорідного рівняння, а - частинний розв'язок неоднорідного рівняння.