Методи інтегрування

Другий семестр

Невизначений інтеграл В диференціальному численні розв’язується така задача: для заданої функції… Первісною функцією F(x) для заданої функції f(x) називається функція, яка задовольняє умовам , .

.

2) В силу другої основної властивості підінтегральну функцію запишемо у вигляді алгебраїчної суми інтегралів і до кожного із них знайдемо відповідне табличне значення.

3) Після виділення повного квадрата у знаменнику дробової функції одержимо табличний інтеграл.

4) Виділимо повний квадрат під знаком квадратного кореня і одержимо табличний інтеграл.

Методи інтегрування

Основними методами, які дають можливість звести задані інтеграли до табличних, є метод заміни змінної та метод інтегрування частинами.

Метод заміни змінної

Метод заміни змінної або метод підстановки базується на заміні змінної x на нову змінну t. Ці змінні зв’язані між собою співвідношенням де - неперервна монотонна функція, яка має неперервну похідну а відповідні інтеграли мають вигляд

Якщо інтеграл за змінною t знайдений і відома обернена функція , тоді

Приклад. Знайти інтеграли:

1) 2)

Розв’язання.

1) Замінимо на , тобто Одержимо

Замінимо на . Одержимо

Метод інтегрування частинами

При інтегруванні добутку двох функцій часто застосовується метод інтегрування частинами, який записується у вигляді

де функції, які мають неперервні похідні. При необхідності цей метод застосовують один або декілька раз.

Приклад. Знайти інтеграли:

1) 2) 3) .

Розв’язання. При застосуванні цього методу важливим є вибір функції

1) У даному прикладі за функцію приймемо функцію Одержимо

2) За функцію необхідно приймати ту функцію, від якої невідомий інтеграл (відсутній у таблиці інтегралів), тобто Тоді

3) У даному випадку вибір функції є вільним, але після повторного застосування методу інтегрування частинами одержимо початковий інтеграл. Доведеться розв’язати рівняння з одним невідомим, тобто рівняння відносно шуканого інтеграла.

Одержали рівняння

Відповідь:

Інтегрування дробово – раціональних функцій

Розглянемо правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладається на лінійні та квадратні множники. Зауважимо, що у випадку необхідно виділити цілу частину.

Правильний раціональний дріб, де , можна розкласти на суму найпростіших дробів:

, (*)

де - довільні числа, а - невідомі коефіцієнти, які необхідно визначити. Для цього праву частину формули (*) необхідно привести до спільного знаменника, знаменники відкинути, а чисельники тотожності прирівняти при однакових степенях , або підставити туди відповідні значення . Одержимо систему лінійних рівнянь, із якої визначимо невідомі коефіцієнти. Суть методу невизначених коефіцієнтів розглянемо на прикладах.

Приклад. Знайти інтеграли:

1) ; 2).

Розв’язання. Дробові раціональні функції правильні. Знаменники розкладені на лінійні та квадратні множники. Кожну підінтегральну дробову функцію можна записати у вигляді суми найпростіших дробів за формулою (*).

1) ;

2)

Інтегрування тригонометричних виразів

При зведенні підінтегральної функції до табличних інтегралів часто використовують різні тригонометричні формули. Розглянемо деякі із них:

Приклад. Знайти інтеграли:

1)

2)

3) Розв’язання. Для обчислення інтегралів застосовуємо відповідні формули і одержимо:

1)

Функції, які раціонально залежать від , зводяться за допомогою універсальної підстановки до дробово- раціональних функцій. Якщо ,

то

а якщо то

Приклад. Знайти інтеграл:

1) 2) 3)

Розв’язання. Для знаходження даних інтегралів застосуємо універсальну підстановку.

(*)

Інтеграли вигляду , де - ціле додатне непарне число, можна проінтегрувати за допомогою методу заміни змінної. Зупинимося на таких прикладах.

Приклад. Знайти інтеграли:

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання. В кожному із запропонованих інтегралів є цілий додатній непарний показник степеня.

4.2 Визначений інтеграл

Розглянемо неперервну на сегменті функцію . Розіб’ємо цей сегмент точками на довільних частин. Складемо інтегральну суму із добутків значень функції на прирости ( кроки ) , де , та знайдемо границю цієї суми, коли найбільший із кроків прямує до нуля.

Визначеним інтегралом називається число, до якого прямує інтегральна сума, коли кроки розбиття прямують до нуля, тобто

,

де , а числа і називаються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Формула Ньютона – Лейбніца дає можливість обчислити визначений інтеграл за допомогою первісної функції, тобто

(1)

Приклад. Обчислити інтеграли:

1) ; 2) .

Розв’язання. 1) Первісною функцією для функції буде .

Тоді згідно формули (1) одержимо

.

2) Первісну функцію у цьому випадку знайдемо за допомогою заміни змінної . Одночасно необхідно знайти межі для змінної . Отже,

4.3 Невласні інтеграли

Невласними інтегралами з нескінченими межами називають інтеграли вигляду

Збіжними називаються невласні інтеграли, всі границі яких існують і скінченні, і розбіжними, якщо ці границі не існують чи нескінченні.

Приклад. Дослідити збіжність інтегралів:

1) ; 2) .

Розв’язання. 1) Можемо записати

Інтеграл розбіжний.

2) На проміжку вибираємо довільну точку. Зручно взяти . Будемо досліджувати на збіжність цей інтеграл на проміжках і . Одержимо:

 

Інтеграл збіжний.

Невласні інтеграли від розривних функцій.

Якщо функція неперервна на , а в точці має розрив, то невласний інтеграл має вигляд

А у випадку, коли точка є точкою розриву, то невласний інтеграл має такий вигляд

Якщо точкою розриву є точка , яка задовольняє умову , то невласний інтеграл дорівнює сумі невласних інтегралів вигляду

 

Невласні інтеграли від розривних функцій будуть збіжними, якщо всі границі існують і скінченні. В протилежних випадках вони розбіжні.

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла

Розв’язання. Точкою розриву функції є точка яка знаходиться

у середині сегмента . Тоді

Дослідимо збіжність одержаних невласних інтегралів.

Невласний інтеграл розбіжний.

Невласний інтеграл розбіжний.

Відповідь: Згідно означення збіжності невласних інтегралів інтеграл буде розбіжним.

Застосування визначених інтегралів до задач геометрії

Згідно геометричного змісту визначеного інтеграла площу криволінійної трапеції для неперервної на сегменті функції обчислюють за формулою

або , коли

Площу криволінійного сектора в полярній системі координат знаходять за формулою

(2), де неперервна функція

Для неперервної разом із своєю похідною на сегменті функції довжину її дуги на цьому сегменті знаходять за формулою

або за формулою якщо функція задана параметрично

У випадку полярних координат, коли , а , довжину дуги лінії знаходять за формулою

Якщо криволінійна трапеція з основою обмежена неперервною функцією обертається навколо осі , то об’єм тіла обертання дорівнює

У випадку обертання навколо осі криволінійної трапеції з основою обмеженої неперервною функцією об’єм тіла обертання дорівнює

Задача. Обчислити площу фігури обмеженої лініями: 1) ; 2) .

Розв’язання. 1) Зобразимо фігуру (рис.1). Знайдемо точки перетину ліній. Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

 

Площа фігури дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій із спільною основою , обмежених параболою і прямою лінією .Тоді

Відповідь: S=4,5 (кв. од).

2) Для зображення фігури, площу якої необхідно обчислити, побудуємо по точках в полярній системі координат лінію .

В силу симетрії фігури (Рис. 2) площу можна обчислити як або безпосередньо за формулою (2). Одержимо

Відповідь: S=4,5(кв. од).

Задача. Обчислити довжину однієї арки циклоїди .

Розв’язання. Знайдемо похідні:

Тоді

Відповідь: Довжина однієї арки циклоїди дорівнює лінійних одиниць

Задача. Обчислити об’єми тіл обертання фігури, обмеженої лініями навколо осей координат .

Розв’язання. Знайдемо точки перетину ліній та зобразимо ці тіла схематично (Рис. 3,4):

Одержали дві точки з координатами

Об’єм тіла обертання навколо осі дорівнює різниці об’ємів тіл обмежених відповідно прямою і параболою . Одержимо

Навколо осі об’єм тіла обертання також дорівнює різниці об’ємів тіл обмежених відповідно параболою та прямою .

Диференціальні рівняння

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну, функцію та її похідну. Найвища похідна функції визначає порядок диференціального рівняння.

Розв’язком диференціального рівняння називається всяка функція , яка при підстановці її у рівняння перетворює його у тотожність.

Диференціальні рівняння першого порядку

Геометрично функція описує множину інтегральних кривих. Розв’язк називається частинним розв’язком і виражає одну інтегральну криву. Проінтегрувати або знайти загальний розвиток диференціальних рівнянь першого… Диференціальними рівняннями з відокремлюваними змінними називаються рівняння вигляду (3)

Лінійні однорідні рівняння із сталими коефіцієнтами

, (9) де - сталі величини, шукають у вигляді функції , де - довільне число. Після… , (10)

Лінійне неоднорідне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

де - невідома функція. Для деяких функцій окрім методу варіації сталих можна застосувати метод… 1) Якщо права частина рівняння (14) має вигляд многочлен -го порядку, то частинний розв'язок шукають у вигляді

Системи диференціальних рівнянь

Систему диференціального рівняння першого порядку вигляду (15) називають нормальною системою. Розв’язком системи (15) називають сукупність функцій , які задовольняють кожному рівнянню системи.

Ряди

Числові ряди

. (17) числа називаються членами ряду, а число - загальним членом ряду. Частинною сумою ряду називають суму перших членів цього ряду і позначають

Функціональні ряди

. (23) Функціональний ряд називається збіжним в точці 0, якщо при підстановці даної… Частинним випадком функціональних рядів є степеневі ряди.

Ряди Фур’є

, (28) де - коефіцієнти, довільне число. Якщо періодична функція з періодом є сумою ряду Фур’є, то його коефіцієнти визначаються за формулами

Контрольна робота №4

1-10. Знайти невизначені інтеграли. ; г) ; д ) е)