Лінійні однорідні рівняння із сталими коефіцієнтами

Частинний розв'язок лінійного однорідного рівняння із сталими коефіцієнтами

, (9)

де - сталі величини, шукають у вигляді функції , де - довільне число. Після підстановки цієї функції у лінійне однорідне рівняння (9) для визначення коефіцієнтів одержують алгебраїчне рівняння

, (10)

яке називається характеристичним рівнянням даного диференціального рівняння (9).

Загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння (9) в залежності від коренів характеристичного рівняння (10) має відповідний вигляд:

1) якщо корені дійсні різні , то

, (11)

2) якщо корені дійсні рівні , то

, (12)

3) якщо корені комплексно спряжені , то

. (13)

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівнянь: 1) ; 2); 3) .

Розв’язання. Складемо відповідні характеристики рівняння для кожного рівняння.

1) ’

Загальний розв'язок має вигляд .

2) . Корені дійсні рівні, то в силу (11) .

3) Тоді .