Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння із сталими коефіцієнтами має вигляд , (14)
де - невідома функція.
Для деяких функцій окрім методу варіації сталих можна застосувати метод підбору частинного розв'язку.
1) Якщо права частина рівняння (14) має вигляд многочлен -го порядку, то частинний розв'язок шукають у вигляді
,
де - многочлен того самого порядку, що і многочлен , але з невідомими коефіцієнтами, а число - число коренів характеристичного рівняння рівних нулю.
2) Якщо функція , де - довільне число, то частинний розв'язок має вигляд
,
де - многочлен із невідомими коефіцієнтами, а число - число коренів характеристичного рівняння, які співпадають із коефіцієнтом в показнику степені.
3) Якщо , де - задані числа, то частинний розв'язок записують у вигляді
,
де - невідомі коефіцієнти, а дорівнює числу коренів характеристичного рівняння, які співпадають із .
Приклад. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , який задовольняє початковим умовам .
Розв’язання. Для знаходження загального розв'язку цього рівняння необхідно знайти загальний розв'язок однорідного рівняння і частинний розв'язок неоднорідного рівняння , тобто .
, де =0, бо із характеристичного рівняння , а і вони не співпадають, то .
Знайдемо невідомі коефіцієнти : .
Підставимо у рівняння і одержимо тотожність із якої методом невизначених коефіцієнтів знайдемо .
Тоді . Загальний розв'язок має вигляд
.
Враховуючи початкові умови можемо визначити значення коефіцієнтів C1 і C2 . Знайдемо:
Із початкових умов слідує, що , то після підстановки даних значень у загальний розв'язок та його похідну одержимо систему:
Одержані значення коефіцієнтів підставимо у загальний розв'язок рівняння і матимемо частинний розв'язок: