Функціональними називаються ряди, членами яких є деякі функції , визначені в області зміни аргументу :
. (23)
Функціональний ряд називається збіжним в точці 0, якщо при підстановці даної точки у функціональний ряд одержимо збіжний числовий ряд, а точка 0 називається точкою збіжності функціонального ряду. Сукупність всіх точок збіжності функціонального ряду називають його областю збіжності.
Частинним випадком функціональних рядів є степеневі ряди.
Степеневим рядом називається ряд вигляду
, (24)
де a і коефіцієнти є сталі величини. Радіус збіжності степеневого ряду обчислюється за формулою:
. (25)
Областю збіжності степеневого ряду є інтеграл (a-R, a+R), до якого можуть бути додатні кінцеві точки a-R, a+R.
Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду .
Розв’язання. Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду (25):
.
Дослідимо ще кінці цього інтервалу.
1) При x=1 одержимо такий числовий ряд
Цей ряд розбіжний, бо необхідна умова збіжності не виконується:
.
2) При одержимо знакопочережний ряд , який також розбіжний, бо для нього не виконується друга умова ознаки Лейбніца.
До інтервалу збіжності ряду не можна додати жодної кінцевої точки.
Відповідь: Область збіжності ряду є інтервал .
Якщо функція є сумою степеневого ряду
(26)
то такий ряд називається рядом Тейлора, а вираз (26) називається розвиненням функції у степеневий ряд. При вираз (26) має вигляд
(27)
і називається розвиненням функції ряд Маклорена.
Відмітимо важливі розвинення у степеневі ряди таких елементарних функцій:
Степеневі ряди мають широке застосування в точних та наближених обчисленням функцій , інтегралів, наближеному розв’язуванні диференціальних рівнянь та інших випадках.
Приклад. Функцію розвинути в степеневий ряд і знайти радіус збіжності одержаного ряду.
Розв’язання. Позначимо і для функції запишемо таке розвинення в ряд: , а для функції одержимо:
Радіус збіжності обчислимо за формулою (25): тоді
Ряд збіжний на всій числовій осі .
Приклад. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001.
Розв’язання. Підінтегральну функцію розвинемо у біноміальний ряд:
Одержимо ряд:
Замінимо підінтегральну функцію на її розвинення у ряд і після інтегрування обчислимо його наближено, взявши стільки членів, щоб решта ряду була меншою від 0,001. Щоб не одержати похибки від округлення, будемо брати чотири знаки після коми.
Відповідь: .