В подовляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений.
Решение СНАУ является сложной задачей, необходимо глубокое знание как физических свойств исследуемого объект, так и особенностей СНАУ, используемых для его описания.
Наибольшее распространение получили методы ньютоновского типа, но могут применяется разные варианты последовательных приближений, градиентные методы и.т.п.
СНАУ будем представлять как приравненную к нулю вектор-функцию W(x)=0 размерности n, элементами которого являются функции, где x – вектор искомого решения размерности n.
Например
При решении СНАУ, как правило, возникает проблема существования и единственности решения, выбора подходящего решения из множества решений, удовлетворяющих тождеству W(X) 0, если решение существует.
Для большинства задач точное аналитическое решение не может быть получено, необходимо выполнение последовательности итераций. Важным является способ задания начального приближения, а так же вопрос о том, будет ли сходиться, выбраны метод к одному из решений и насколько быстро.
Говорят, что последовательность сходится к , если при .
Если существует константа и целое , такие, что для всех
,
то говорят, что последовательность линейно сходится к
Если данное неравенство выполняется для некоторых последовательности , сходящей к нулю, то говорят что сходитьсясверхлинейнок
Если сходится к и существуют постоянные
и , такие , что для всех
то говорят, что последовательность сходится к с порядком, по меньшей мере равным p. При p=2 говорят о квадратичной скорости сходимости.
Итерационный метод, сходящийся с определенной скоростью к истинному решению при условии, что он стартует в достаточной близости от этого решения, называется локально сходящимися,
Под глобально сходящимися часто понимают методы, в которых обеспечивается сходимость к некоторому решению системы нелинейных уравнений почти из любой начальной точки.