МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт)

 

Кафедра «Электрические и электронные аппараты»

 

П.Г. Колпахчьян, И.Б. Подберезная,
С.В. Чамлай, Д.В. Батищев

 

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ

ЭЛЕКТРОАППАРАТОСТРОЕНИЯ,

ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТРАНСПОРТА

Методические указания
к проведению вычислительной практики

 

 

Новочеркасск

ЮРГТУ(НПИ)

УДК 629.4:621.313

 

Рецензент канд. техн. наук В.И. Рожков

 

 

Составители:

Колпахчьян П.Г., Подберезная И.Б., Чамлай С.В., Батищев Д.В.

Методы вычислений в задачах электроаппаратостроения, электрооборудования и электрического транспорта: Методические указания к проведению…   Настоящие указания содержат краткое описание основных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений,…

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие.. 5

Глава 1. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ 7

1.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений. 7

1.1.1. Итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений. 7

1.1.2. Факторизация и типовые схемы решений. 9

1.1.3. Метод Гаусса и LU— разложение. 11

1.1.4. Метод Гаусса-Жордана обращения матриц. 13

1.1.5. Метод квадратного корня (Холесского) 13

1.1.6. Метод вращений. 15

1.1.7. Итерационное уточнение. 16

1.1.8. Решение преопределенных систем линейных алгебраических уравнений 17

1.2 Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. 18

1.2.1. Метод последовательных приближений. 19

1.2.2. Метод Ньютона. 19

1.2.3. Метод Ньютона по параметру. 21

Глава 2. Интерполяция зависимостей.. 22

2.1. Интерполяция каноническим полиномом. 22

2.2. Интерполяция полиномом Лагранжа. 25

2.3. Интерполяция полиномом Ньютона. 25

2.4. Применение интерполяции для решения уравнений. 28

2.5. Интерполяция сплайнами. 29

Глава 3. Метод наименьших квадратов.. 33

3.1. Общие положения. 33

3.2. Степенной базис. 35

3.3. Базис в виде классических ортогональных полиномов. 36

3.4. Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной. 37

3.5. Линейный вариант метода наименьших квадратов. 39

3.6. Сглаживание экспериментальных данных с ошибками. 40

Глава 4. Определенные интегралы... 41

4.1. Классификация методов. 41

4.2. Методы прямоугольников. 43

4.3. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену. 45

4.4. Метод трапеций. 47

4.5. Метод Симпсона. 48

4.6. Методы Ньютона-Котеса. 51

4.7. Вычисление интегралов с заданной точностью.. 52

4.8. Применение сплайнов для численного интегрирования. 53

4.9. Методы наивысшей алгебраической точности. 54

4.10. Несобственные интегралы.. 57

4.11. Вычисление кратных интегралов. 58

Глава 5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 59

5.1. Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений. 59

5.2. Метод Эйлера. 60

5.3. Методы Рунге-Кутта. 62

5.4. Метод Рунгe-Кутта-Мерсона. 65

5.5. Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона. 66

5.6. Методы Гира. 69

5.7. Понятие о методах обратного дифференцирования. 71

Библиографический список.. 74

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие предназначено для студентов первого, второ­го курсов направления 14040062 Электроэнергетика и электротехникапри прохождении вычислительной практики. От­дельные разделы могут быть использованы в курсах «Математическое моделирование», «Переходные режимы работы электрооборудования» и т.д.

Продолжительность вычислительной практики две недели. Прово­дится она в вычислительных центрах и вычислительных лабораториях. Распределение студентов на практику оформляется приказом по университету не позднее, чем за месяц до ее начала. Перед началом практи­ки студенты должны получить на кафедре бланки командировочных удостоверений, пройти необходимый инструктаж.

Целии задачи вычислительной практикиОсновная цель вычислительной практики — это закрепление теоретических знаний, по­лученных в университете, и овладение практическими навыками реше­ния конкретных задач на ЭВМ с использованием численных методов. Теоретическую основу практики составляют курсы "Информатика", "Алгоритмические языки и программирование", "Высшая математика". В задачи практики вхо­дит:

- изучение методов решения систем линейных и нелинейных урав­нений, систем дифференциальных уравнений первого порядка, а также знакомство с методом наименьших квадратов;

- изучение алгоритмического языкаPASCAL;

- составление и отладка программ для перечисленных методов на алгоритмическом языкеPASCAL.

Содержаниепрактики.В период вычислительной практики каждый студент должен:

- пройти на кафедре и на месте проведения практики инструктаж
по технике безопасности;

- ознакомиться с литературой по методам решения указанных вы­ше задач (см. библиографический список);

- изучить алгоритмический язык PASCAL для работы на компьютерах;

- составить и отладить на алгоритмическом языкеPASCAL программы, реализующие:

1) методы решения систем обыкновенных дифференциаль­ных уравнений первого порядка с заданными начальными значениями;

2) методы решения систем линейных уравнений общего вида;

3) методы решения систем нелинейных уравнений;

4) аппроксимацию функции по методу наименьших квадратов, интерполяцию и сглаживание;

5) вычисление функций с помощью разложения в степенные ряды;

6) расчет переходных процессов в электрических цепях;

- оценить точность полученных результатов, составить отчет по практике.

Требованияк отчету по практикеОтчет по практике — основной документ, характеризующий работу студента во время практики. Отчет составляется каждым студентом самостоятельно, в нем должны быть отражены результаты работы, полученные практические знания и на­выки, а также изученная во время практики специальная литература. Он должен быть написан грамотно и оформлен в соответствии с инструкцией.

Отчет должен со­держать следующие разделы:

- математическая сущность используемых методов;

- алгоритмы методов, указанных в индивидуальном задании сту­дента;пояснения к блок-схемам программ и описание программ, реализующих эти методы;

- индивидуальный вариант расчета;

- выводы (сравнение результатов, полученных различными мето­дами; затраты машинного времени; простота алгоритма; объем используемой памяти ЭВМ);

- подробные блок-схемы программ, оформленные в соответствии с инструкци-ей, и распечатки программ

Подведение итогов практики.В период вычислительной практики для всех студентов является обязательной ежедневная работа в вычислительной лаборатории. Студенты должны вести дневник о ежедневно выполненной работе, по которому составляется отчет. Составленный студентом отчет вместе с дневником и другими документами должен быть представлен на кафедру для проверки руководителем. После про­верки материалов практики студент защищает отчет.

Глава 1

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

 

В настоящее время разработано большое количество различных методов решения систем алгебраических уравнений. Для правильно­го выбора метода, наилучшим образом отвечающего сформулирован­ной задаче, необходимо знать особенности его реализации: количество необходимых операций, объем памяти, оценку численной устойчиво­сти, удобство алгоритмизации и т.п.

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений

- прямые методы, которые позволяют получить точное решение за конечное число операций (при использовании точных вычисле­ний без округлений); - итерационные методы, которые позволяют после задания неко­торого начального… Для прямых методов, как правило, стоит проблема численной устойчивости решения, а для итерационных — еще и сходимости…

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

  где F(k)— некоторая последовательность операторов, действующих для заданных A… Вектор называют начальным вектором (начальным прибли­жением), а векторы = — X, где X— точное решение,…

Факторизация и типовые схемы решений

1) А представляет собой матрицу перестановок . Решение осу­ществляется путем присваивания , кроме переменных с индексами iи . 2) А является ортогональной матрицей, обозначенной через Q. По­скольку Q-1 =… 3) А есть невырожденная диагональная матрица D, i= 1,2,.. .,0, . Решением DX — В является . Матрицу Dобычно…

Метод Гаусса и LU— разложение

Метод Гаусса основан на разложении L1СL2С… LkС… Ln-1,СU=A, где U— верхняя треугольная матрица; Lk,С— нижние столбцовые элементарные матрицы, поддиагональные элементы k-го…

Метод Гаусса-Жордана обращения матриц

. Данный метод использует тот же прием исключения, что и метод Гаусса, но…

Метод квадратного корня (Холесского)

, где U— верхняя треугольная матрица. Выполним первый шаг факторизации, для чего запишем заданную матрицуАв блочной форме  

Метод вращений

Построим ортогональную матрицу вращений R21 так, чтобы при левом умножении матрицы, обратной к ней, на матрицуАона обра­щала в ноль элемента21,… Выполним подобную последовательность операций для всех столбцов матрицы А.…    

Итерационное уточнение

1) Решить исходную систему уравнений . 2) Вычислить вектор невязок . Если все , где - желаемая точность, то… 3) Решить систему уравнений относительно - вектора итерационного уточнения.

Решение преопределенных систем линейных

Алгебраических уравнений

Подход к решению переопределенных систем на основе минимизации суммы квадратов невязок получил собирательное название метода наименьших квадратов … Пусть решение соответствует минимуму суммы квадратов невязок  

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

Решение СНАУ является сложной задачей, необходимо глубокое знание как физических свойств исследуемого объект, так и особенностей СНАУ, используемых… Наибольшее распространение получили методы ньютоновского типа, но могут… СНАУ будем представлять как приравненную к нулю вектор-функцию W(x)=0 размерности n, элементами которого являются…

Метод последовательных приближений

    Алгоритм решения заключается в последовательном вычислении начиная с некоторого начального приближения , пока…

Метод Ньютона

Рассмотрим простой пример (рис. 1.1).   Рис. 1.1. Итерация метода Ньютона для

Метод Ньютона по параметру

, где — параметр, выбираемый на каждой итерации. При — 1 метод совпадает с обычным методом Ньютона.

Глава 2

Интерполяция зависимостей

 

Интерполяция каноническим полиномом

Одной из важнейших задач в процессе математического моделиро­вания является вычисление значений функций, входящих в математи­ческое описание модели.… Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим… Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции f(x) функцией , которую нетрудно вычислять при…

Интерполяция полиномом Лагранжа

  . (2.5)  

Интерполяция полиномом Ньютона

. (2.6) Равносильный вариант полинома можно записать при симметричной перенумерации узлов исходной таблицы 0→n,…

Применение интерполяции для решения уравнений

. (2.17) Если в области корня уравнения (2.17) вычислить его левую часть (n +1)точке и… Значение корня, найденное с помощью обратной интерполяции, бу­дет приближенным за счет погрешности интерполяции. Для…

Интерполяция сплайнами

Для проведения гладких кривых через узловые значения функции чертежники используют упругую металлическую линейку, совмещая ее с узловыми точками.… Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов интер­поляции… (2.18)

Глава 3

Метод наименьших квадратов

Общие положения

Обозначим узлы исходной таблицы данных через xj, где 0 ≤ j ≤ n – номер узла. Считаем известными значения эксперимен­тальных данных в… n n Q = ∑ ε j ² = ∑[φ(xj) - ƒ(xj)]² (3.1)

Степенной базис

φ0 (x) = х 0 = 1, φ1 (x) = х1 = х ,..., φm (х) = хm. (3.8) В этом случае также, как и при интерполяции, мы будем аппрок­симировать… Запишем расширенную матрицу системы нормальных уравнений для базиса (3.8):

Базис в виде классических ортогональных полиномов

Выбор базисных функций φ_k(x)в виде степеней х (3.8) не является оптимальным с точки зрения решения системы нормальных уравнений с наименьшими погрешностями. Приемлемые результаты в этом слу­чае можно получить, если набор экспериментальных данных с удовле­творительной точностью удается аппроксимировать полиномом невы­сокой степени (т≤4-5).

Лучшие результаты может дать использование классических орто­гональных полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Якоби и других в качестве базисных функций. Свойство ортогональности классиче­ских полиномов заключается в том, что для каждого типа полиномов существует отрезок [x₀, х_n], на котором обращаются в нуль скалярные произведения полиномов разного порядка с весовой функцией р(х):

x_n

∫= p{x)φ_j (x) φ_k(x)dx = 0, j ≠ k. (3.10)

x₀

В случае большого количества узлов x_i на отрезке [x₀ ,x_n]скалярные произведения (3.10) будут близки к дискретным скалярным произведе­ниям (3.5), так как интегрирование можно приближенно заменить сум­мированием. Значит недиагональные элементы матрицы Граммабудут иметь небольшую абсолютную величину, что позволит уменьшить погрешность решения системы нормальных уравнений.

Заданный интервал [x'₀ , x'_n], в котором расположены все узлы аппроксимируемой функции, с помощью линейного преобразования все­гда можно привести к отрезку [x₀ ,x_n], где определены и ортогональные базисные функции φ_k(x).

Для наиболее гладкого представления функций (с минимальным чис­лом и амплитудой выбросов) выбираются полиномы Чебышева Т_n(х), которые определены и ортогональны в интервале [-1,1] с весовой функ­цией (1-x²)^-1/². Значения полиномов Чебышева определяются по рекуррентной формуле [10]:

 

Т_k+1(х) = 2хТ_k(х) – Т_k-1 (х), (3.11)

где Т₀(х) = 1;T₁(x) = х.

Нетрудно убедиться, что в каждом из полиномов Т_k+1(х), опреде­ленном по формуле (3.11), при старших степенях xбудет присутство­вать коэффициент 2^k.Последнее обстоятельство не всегда удобно при оценке вклада в аппроксимирующую функцию φ_k(x) (3.2) старших сте­пеней х по величине коэффициентов с_k.

Полиномы Чебышева можно ввести и по другой рекуррентной фор­муле [11]:

 

Т*_k+1(х) = хТ*_k(х) – ¼ Т*_k-1 (х), (3.12)

где .

Особенностью такой формы полиномов Чебышева является отсут­ствие коэффициентов у высших степеней x в каждом из полиномов. Недостатком полиномов считают наличие дробного множителя 1/4 в рекуррентной формуле (3.12). Однако это обстоятельство суще­ственно только при ручных вычислениях.

Полиномы ортогональны на отрезке [-1,1] с такой же весо­вой функцией, что и полиномы Т_k(х).

Единичную весовую функцию на отрезке [-1,1] имеют полиномы Лежандра [10], определяемые по рекуррентной формуле

L_k+1 = [(2k + l)xL_k(x) + kL_k-₁(x)] /(k + 1), (3.13)

где L₀(х) = l;L₁(x) = x.

Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной

В зависимости от распределения погрешности обрабатываемых дан­ных можно построить полиномы дискретной переменной, ортогональ­ные с соответствующими… Рассмотрим алгоритм [1, 13] построения полиномов Чебышева tk(x) дискретной… t0 (x) = 1, (3.14)

Линейный вариант метода наименьших квадратов

На практике довольно часто оказывается возможным при обра­ботке экспериментальных данных ограничиться построением линей­ной аппроксимирующей функции

φ(x) = а + bх. (3.22)

Для многих нелинейных зависимостей с двумя параметрами аи b можно свести нелинейную зависимость к линейной

φ' (х) = а'(х) + b'

с помощью преобразования х→x' и ƒ→ƒ'[1,2, 14]. После про­ведения линейной регрессии получим значения a'и b', которые после преобразований a' → аи b' → bдают искомые параметры а и bнели­нейной зависимости. Преобразования, сводящие нелинейную зависи­мость к линейной даны в табл.3.1.

 

Таблица 3.1. Преобразования х, увх', у' и а', b' вa, b

 

№	Функция φ (х)	х'	у'	а	b
	ах + Ь	x	y	а'	b'
	1/(ах + b)	x	1/y	а'	b'
	b + а/х	1/х	y	а'	b'
	х/(ах+ b)	x	х/у	а'	b'
	bах	x	lg y	10а′	10b′
	bеах	x	In у	а'	e b′

	b10ах	x	lg y	а'	10b′
	1/(аех + b)	e -х	1/y	а'	b'
	bха	lg x	lg y	а'	10b′
	b + a lgx	lg x	y	а'	b'
	b + a In х	In x;	y	а'	b'
	b/(а + х)	x	1/y	b'/а'	1/а'
	bх/(а + х)	1/х	1/y	b'/а'	1/а'
	bеа'х	l/x	In x	а'	е b′
	b10а/ж	1/х	lgx	а'	10b′
	b + ахn	xn	y	а'	b'

 

Для коэффициентов а и b (см. формулу (3.22) из общего алгоритма МНК получим выражения

 

(3.23)

 

 

где

(3.24)

 

, — узлы и значения аппроксимируемой функции в них; n — коли­чество узлов.

Погрешность вычисления коэффициентов (3.23) определяется по формулам

 

(3.25)

 

,

где — коэффициент Стьюдента для пизмерений и доверительной вероятности £ [15].

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующей функции φ(x)от исходной определяется по формуле (3.1).

Сглаживание экспериментальных данных с ошибками

Линейное сглаживание для пточек по трем ординатам проводится с помощью формул: (3.26)  

Глава 4

Определенные интегралы

Классификация методов

Ставится задача вычислить интеграл вида

b

J = ∫ƒ(x)dx, (4.1)

a

где aи b— нижний и верхний пределы интегрирования; ƒ(x) — непре­рывная функция на отрезке [а, b].

К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через эле­ментарные функции аналитически записать первообразную интеграла (4.1) или когда подобная запись имеет сложный вид.

Сущность большинства методов вычисления определенных инте­гралов состоит в замене подынтегральной функции ƒ(x)аппроксими­рующей функцией φ(x), для которой можно легко записать первооб­разную в элементарных функциях, т.е.

b b

∫ƒ(x)dx = ∫φ(x)dx + R = S + R, (4.2)

а а

где S— приближенное значение интеграла; R— погрешность вычис­ления интеграла.

Используемые на практике методы численного интегрирования мож­но сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подын­тегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппрокси­мации подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит коли­чество узлов, где необходимо вычислить функцию ƒ(x). Алгоритмы ме­тодов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтеграль­ной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином.

Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы име­ет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппрок­симации применяются для обработки данных.

В методах наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса-Кристоффеля и др.) используют неравноотстоящие узлы, расположен­ные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность ин­тегрирования для наиболее сложных функций при заданном количе­стве узлов. Методы различаются способами выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе они применимы и для несобственных интегралов. Хотя из-за необходимости хранения чи­словых констант и стандартизации пределов интегрирования програм­мы указанных методов требуют несколько большего объема памяти по сравнению с методами Ньютона-Котеса.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика слу­чайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказыва­ются эффективными при вычислении интегралов большой кратности.

В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе учета особенностей конкретных подын­тегральных функций, что позволяет существенно сократить время и уменьшить погрешность вычисления интегралов.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегри­рования необходимо вычислить приближенное значение Sинтеграла и оценить погрешность R (4.2). Погрешность будет уменьшать­ся при увеличении количества разбиений N интервала интегрирования [а, b]за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значе­ния No становится преобладающей (рис. 4.1) [1,16].

 

Рис. 4.1. Зависимость полной погрешности Rот количества разбиений N интервала
интегрирования

Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа N и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности Rвыбранного метода интегрирования.

 

Методы прямоугольников

Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x)на интервале ин­тегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т.е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования. Приближенное значение интеграла опре­делится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая — аппроксимирующая кон­станта. Отсюда происходит и название методов. Как будет показано ниже, из методов прямоугольников наименьшую погрешность имеет метод средних прямоугольников, когда константу берем равной значе­нию f(x)в средней точке х интервала интегрирования [x_i-1, x_i](рис. 4.2).

 

F(x)

 

х ₀ х х ₁ х_п х

Рис. 4.2. Метод средних прямоугольников

 

Методы левых (рис. 4.3,а) и правых прямоугольников (рис. 4.3,б), заменяющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют срав­нительно высокую погрешность (рис. 4.3).

 

a) х₀ х₁ х_п х б) х₀ х₁ х_п х

Рис. 4.3. Методы левых (а) и правых (б) прямоугольников

 

Запишем выражение для интеграла в интервале [x_i, x_i + h], полу­ченное методом средних прямоугольников

 

x_i + h

∫ ƒ(x)dx =hƒ( )+ R, (4.3)

x_i

где = x_i +h/2;R = J_точн-J_прибл , и оценим погрешность R. Для этого разложим подынтегральную функцию ƒ(x) в ряд Тейлора около средней точки x:

(4.4)

в малой окрестности точки xэтот ряд с высокой точностью представ­ляет функцию f (x)при небольшом количестве членов разложения. По­этому, подставляя под интеграл вместо функции f (x)ее тейлоровское разложение (4.4) и интегрируя его почленно, можно вычислить инте­грал с любой наперед заданной точностью:

 

h³

=hƒ( )+—ƒ″( )+ …. (4.5)

24

 

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все инте­гралы от членов ряда (4.4), содержащих нечетные степени (x — ) , об­ращаются в нуль.

Сравнивая отношения (4.3) и (4.5), можно записать выражение для погрешности R. При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность Rбудет вносить первое слагаемое, которое на­зывается главным членом погрешности R_oiвычисления интеграла на интервале [x_{i ,}x_i + h]:

h³

R_0i=—ƒ″(x_i) . (4.6)

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интерва­ле [x₀ ,x_n] определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале [x_i,x_i+ h]:

(4.7)

К последнему интегралу мы перешли, используя метод средних прямо­угольников для функции f"(x).

Формула (4.7) представляет собой теоретическую оценку погреш­ности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычис­ляемого интеграла. Оценка (4.7) не удобна для практического вычис­ления погрешности, но полезна для установления структуры главного члена погрешности. Степень шага h, которой пропорциональна вели­чина R₀, называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоуголь­ников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точ­ки x= x_i:

 

. (4.8)

Интегрируя разложение (4.8) почленно на интервале , получим

 

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычис­ленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности

(4.9)

На интервале главный член погрешности интегрирования получим суммированием частичных погрешностей (4.9):

(4.10)

Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый поря­док, кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних за счет интеграла от производной f'(x) и коэффициента в зна­менателе (4. 10). Обычно для большинства функций выполняется нера­венство

 

Однако, если подынтегральная функция f(x) определяется из экс­перимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоуголь­ников применить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в средних точ­ках . В этом случае для интегрирования используются другие методы Ньютона-Котеса.

Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену

Априорные оценки погрешностей (4.7) и (4.10) можно записать в виде , (4.11) где А — коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подынтегральной функции; h— шаг интегрирования; р—…

Метод трапеций

(4.19)    

Метод Симпсона

где R— погрешность вычисления интеграла. P

Методы Ньютона-Котеса

  (4.34)  

Вычисление интегралов с заданной точностью

Так, два приближенных значения и интеграла (4.35) вычисляемые по методу трапеций с шагами и , связаны соот­ношением

Применение сплайнов для численного интегрирования

Рассмотрим применение сплайнов для вычисления определенных интегралов или так называемую сплайн-квадратуру [9]. Пусть необхо­димо вычислить интеграл… (4.40) Разобъем интервал на участки

Методы наивысшей алгебраической точности

(4.42) а для интегралов (4.43)

Несобственные интегралы

.    

Вычисление кратных интегралов

  (4.55)    

Глава 5

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве известных входят функции y(x) и ее первые n производных по аргументу x: (5.1)  

Метод Эйлера

где k = 1,2,. ..,n. При формулировке задачи Коши система (5.4) дополняется началь­ными условиями… . (5.5)

Методы Рунге-Кутта

Так, например, для второго порядка получено однопараметрическое семействосхем вида [1,2]: , (5.12) где 0 <£ 1 — свободный параметр,

Метод Рунгe-Кутта-Мерсона

, (5.23) где  

Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона

Алгоритмы многоточечных методов основываются на аппроксима­ции интерполяционными полиномами либо правых частей ОДУ, либо интегральных кривых . … Рассмотрим четырехточечный вариант одного из методов перво­го типа для задачи… f(x) = f(x,y(x)),

Методы Гира

(5.31) В окрестностях узлов искомое решение у(х) приближенно заменим… где — разделенные разности первого — четвертого по­рядков.

Понятие о методах обратного дифференцирования

Это, прежде всего, многозначный жестко-устойчивый метод Гира переменного порядка и его усовершенствование – метод BDF… Рассмотрим более подробно основы метода обратного дифференцирования. Для kточек(tj-k+1; xj-k+1),(tj-k+2; xj-k+2), …, (tj; xj) и точки (tj+1; xj+1) строится интерполяционный полином k-того…

Библиографический список

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. –512 с. 3. Кунцман Ж. Численные методы: пер. с фр. – М.: Наука, 1979. – 160 с. 4. Гилой В. Интерактивная машинная графика: пер. с англ. – М.: Мир, 1981. –384 с.

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ

ЭЛЕКТРОАППАРАТОСТРОЕНИЯ,

ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТРАНСПОРТА

 

Редактор Д.В. Малыгина

 

Подписано в печать 07.05.2012.

Формат 60´84 ¹/₁₆. Бумага офсетная. Ризография.
Усл. печ. л. 4,42. Уч.-изд. л. 4,5. Тираж 50.Заказ № 48-5068.

 

Южно-Российский государственный технический университет
(Новочеркасский политехнический институт)

Редакционно-издательский отдел ЮРГТУ (НПИ)

346428, г.Новочеркасск, ул. Просвещения 132

Отпечатано в ИД «Политехник»