Метод Ньютона по параметру

Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньюто­новских методов и предусматривает расчет нового исходного прибли­жения по формуле

,

где — параметр, выбираемый на каждой итерации.

При — 1 метод совпадает с обычным методом Ньютона.

Параметр выбирают с целью ускорения сходимости и преду­преждения расходимости метода. Факт расходимости может быть установлен, если невязка любого уравнения системы не умень­шилась по сравнению с предыдущей итерацией.

Метод Бройдена предусматривает выбор параметра в про­цессе поиска по направлению вектора поправок минимума од­ной из норм вектора невязок, например, евклидовой:

В простейшем случае можно попытаться выполнить последова­тельность расчетов Ф(Х), уменьшая шаг вдвое, т.е. полагая 0.5,0-25,... пока Ф(Х) не уменьшитсяили не станет малой ве­личиной. Более сложные варианты предусматривают аппроксимациюсечения по направлению поверхности функции невязок выпук­лой квадратичной функцией и выбор , обеспечивающего минимум этой функции.

Вычислим значение Ф0 и, выполнив предварительно шаг метода Ньютона, вычислим Если , то поиск на отрезке [0,1] начи­нается с α= 1, в противном случае с α = 0. Зададимся некоторым и вычислим значения функции Ф в точках (1 — ) в первом случае и в точках во втором случае, где k = 1, 2,... Поиск прекращается при выполнении условия

В окрестности k-й точки производится квадратичная аппроксима­ция функции Ф(Х) и определяется из условия ее минимума (равенство нулю производной) значение , равное

 

 

где — точки, в которых известно значение аппроксими­рующей функции

Метод Матвеева предусматривает выбор оптимального парамет­ра α(k) следующим образом:

 

Значение определяется, например, по следующей формуле:

i

 

 

где — i-e решаемое уравнение на k-й итерации, а второй сомножитель представляет собой максимальный по модулю элемент вектора-столбца, полученного умножением матрицы вторых производ­ных системы W(X) на вектор поправок.

Для метода Матвеева необходимо, чтобы функции wiбыли дважды дифференцируемыми по .

Метод Матвеева требует большего по сравнению с методом Нью­тона объема вычислений и памяти, однако обладает устойчивой сходи­мостью при не очень хороших исходных приближениях. Доказано, что данный метод сколь угодно приближается к решению, даже если яко­биан стремится к нулю, т.е. матрица Якоби очень плохо обусловлена в окрестности решения.