Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньютоновских методов и предусматривает расчет нового исходного приближения по формуле
,
где — параметр, выбираемый на каждой итерации.
При — 1 метод совпадает с обычным методом Ньютона.
Параметр выбирают с целью ускорения сходимости и предупреждения расходимости метода. Факт расходимости может быть установлен, если невязка любого уравнения системы не уменьшилась по сравнению с предыдущей итерацией.
Метод Бройдена предусматривает выбор параметра в процессе поиска по направлению вектора поправок минимума одной из норм вектора невязок, например, евклидовой:
В простейшем случае можно попытаться выполнить последовательность расчетов Ф(Х), уменьшая шаг вдвое, т.е. полагая 0.5,0-25,... пока Ф(Х) не уменьшитсяили не станет малой величиной. Более сложные варианты предусматривают аппроксимациюсечения по направлению поверхности функции невязок выпуклой квадратичной функцией и выбор , обеспечивающего минимум этой функции.
Вычислим значение Ф0 и, выполнив предварительно шаг метода Ньютона, вычислим Если , то поиск на отрезке [0,1] начинается с α= 1, в противном случае с α = 0. Зададимся некоторым и вычислим значения функции Ф в точках (1 — ) в первом случае и в точках во втором случае, где k = 1, 2,... Поиск прекращается при выполнении условия
В окрестности k-й точки производится квадратичная аппроксимация функции Ф(Х) и определяется из условия ее минимума (равенство нулю производной) значение , равное
где — точки, в которых известно значение аппроксимирующей функции
Метод Матвеева предусматривает выбор оптимального параметра α(k) следующим образом:
Значение определяется, например, по следующей формуле:
|
где — i-e решаемое уравнение на k-й итерации, а второй сомножитель представляет собой максимальный по модулю элемент вектора-столбца, полученного умножением матрицы вторых производных системы W(X) на вектор поправок.
Для метода Матвеева необходимо, чтобы функции wiбыли дважды дифференцируемыми по .
Метод Матвеева требует большего по сравнению с методом Ньютона объема вычислений и памяти, однако обладает устойчивой сходимостью при не очень хороших исходных приближениях. Доказано, что данный метод сколь угодно приближается к решению, даже если якобиан стремится к нулю, т.е. матрица Якоби очень плохо обусловлена в окрестности решения.