Пусть табл. 2.1 задает п +1 значений функции f(x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:
. (2.5)
Старшая степень аргумента х в полиноме Лагранжа равна n, так как каждое произведение в формуле (2.5) содержит п сомножителей . В узлах выполняются условия Лагранжа, потому что в сумме (2.5) остается по одному слагаемомуfj, остальные обращаются в нуль за счет нулевых сомножителей в произведениях.
В отличие от канонического интерполяционного полинома для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения х полином (2.5) приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются один раз. С известными коэффициентами для вычисления значений канонического полинома требуется значительно меньшее количество арифметических операций по сравнению с полиномом Лагранжа. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек п. Важное место занимает полином Лагранжа в теории численных методов.