Степенной базис

Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы:

φ₀ (x) = х ⁰ = 1, φ₁ (x) = х¹ = х ,..., φ_m (х) = х^m. (3.8)

В этом случае также, как и при интерполяции, мы будем аппрок­симировать экспериментальную зависимость полиномом. Однако сте­пень полинома mвыбираем обычно m<<n(при лагранжевой интер­поляции m = n). Аппроксимирующая кривая в МНК не проходит че­рез значения исходной функции в узлах, но проведена из условия наи­меньшего суммарного квадратичного отклонения. Экспериментальные данные "сглаживаются" с помощью функции φ(x). Если же выбрать m = n, то на основании единственности интерполяционного полиномаполучим функцию φ(x), совпадающую с каноническим интерполяци­онным полиномом степени n, аппроксимирующая кривая пройдет че­рез все экспериментальные точки и величина Q будет равна нулю. По­следнее обстоятельство используется для отладки и тестирования про­грамм, использующих МНК.

Запишем расширенную матрицу системы нормальных уравнений для базиса (3.8):

. (3.9)

 

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (3.9) достаточно вычислить элементы первой строки и двух последних столб­цов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического заполнения.

Для решения систем уравнений с матрицей Грамма разработаны методы сингулярного разложения [9]. Если же m ≤ 4 ÷ 5, то такие системы можно решать и более простым методом исключения Гаусса.