Построим систему базисных функций φk(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диагональной, что позволит отказаться от использования процедур численного решения системы нормальных уравнений.
В зависимости от распределения погрешности обрабатываемых данных можно построить полиномы дискретной переменной, ортогональные с соответствующими дискретными весовыми функциями p(xj). Из классических ортогональных полиномов дискретной переменной известны полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье[12].
Рассмотрим алгоритм [1, 13] построения полиномов Чебышева tk(x) дискретной переменной, которые являются важным частным случаем полиномов Хана с единичной весовой функцией. Полином нулевой степени выберем единичным
t0 (x) = 1, (3.14)
а полином первой степени возьмем в виде
t1 (x) == х - a1, (3.15)
где коэффициент a1 определим из условий ортогональности
(t0 ,t1) = 0. (3.16)
Запишем условие (3.16) в развернутом виде
п п п
∑ l(xi – а1) = ∑ х k - a ∑ l = 0,
i=0i=0 t=0
откуда получим
п
а1= ∑ xi /(n + l). (3.17)
i=0
Полином второй степени также представим в общем виде с неопределенными коэффициентами а21и а20:
t2(x) = х2 + а21х + а20,
которые найдем из двух условий ортогональности:
(t0 , t2) = 0, (t1, t2) = 0.
Аналогичным способом запишем ортогональный полином степени k:
t k(x) = хk + аk,k-1хk-1+…+ аk0.
Для полиномов Чебышева дискретной переменной установлена двухслойная рекуррентная формула [13], по которой можно вычислить полином любой степени через начальные полиномы (3.14) и (3.15):
tk+1(x) = (x- a k+1) t k(x) – b k+1 t k-1(x), (3.18)
где
n n
ak+1 = ∑ x i tk 2 (x i) ⁄ ∑ t k (x i)
i=0 i=0
(3.19)
n n
bk+1 = ∑ tk 2 (x i) ⁄ ∑ tk-1 2 (x i)i=
0i=0 i=0
Аппроксимирующая функция φ(x)определяется, как и ранее (3.3), в виде линейной комбинации базисных функций, в качестве которых теперь выбраны полиномы Чебышева дискретной переменной tk(x):
m
φ(x) = ∑cktk(x). (3.20)
k=0
Вследствие диагональноcти матрицы Грамма коэффициенты сkлинейной комбинации (3.20) определяются как частные от деления правых частей (3.6) системы нормальных уравнений на диагональные элементы этой матрицы:
n n
ck = ∑ ƒ(xi)tk(xi) ⁄ ∑tk2 (xi). (3.21)
i=0 i=0
При увеличении количества базисных функцийв сумме (3.20) не придется пересчитывать коэффициенты сk, определенные с меньшим значением m.