Подинтегральную функцию заменим на участке полиномом первой степени . Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис. 4.4). В этом случае приближенное значение интеграла определяется как площадь трапеции:
(4.19)
Рис. 4.4. Метод трапеций
Априорную погрешность Rметода трапеций получим путем интегрирования тейлоровского разложения подынтегральной функции около точки xi.
(4.20)
. (4.21)
С помощью разложения (4.20) вычислим подынтегральную функцию в точке :
,
откуда
. (4.22)
Подставляя произведение (4.22) в выражение (4.21), получим
(4.23)
Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном интервале будет
(4.24)
Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка [x0;xп] на несколько интервалов, то общую погрешность получим суммированием частичных погрешностей (4.24):
(4.25)
Получили, на первый взгляд, несколько неожиданный результат. Оказалось, что метод трапеций имеет погрешность в два раза больше по абсолютной величине, чем метод средних прямоугольников, хотя аппроксимация подынтегральной функции проводилась полиномомпервой, а не нулевой степени. По-видимому, выбранный вариант аппроксимации подынтегральной функции прямой, проходящей через ее значения на границах, не является оптимальным. Задача выбора способа аппроксимации полиномом заданной степени с наименьшей возможной погрешностью была решена Гауссом, что привело к развитию целого класса методов.
Как видно из выражения (4.25), метод трапеций, как и метод средних прямоугольников, имеет второй порядок. Если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности.