Метод Симпсона

Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным по­линомом второй степени Р₂(х) — параболой, проходящей через узлы (рис. 4.5), тогда

где R— погрешность вычисления интеграла.

P

x₀ x_i x₂ X

 

Рис. 4.5. Метод Симпсона

 

Для записи полинома Р₂(х) воспользуемся интерполяционной фор­мулой Ньютона (2.6) для трех узлов:

, (4.26)

где и — разделенные разности, определяемые по формулам

 

 

 

 

h- расстояние между узлами.

Введем новую переменную , тогда и полином(4.26) принимает вид

. (4.27)

Теперь вычислим интеграл от полинома (4.27):

(4.28)

Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона или формулой парабол.

Формулу Симпсона можно получить и с помощью первой и второй формул Рунге, примененных к вычислению интеграла методом трапе­ций. Запишем два приближенных значения интеграла от функции f(x) на интервале [ , ] с шагами hи 2hпо формуле трапеций (4.19):

 

(4.29)

 

Интегралы (4.29) подставим в формулы (4.14) и (4.15) и получим уточненное значение интеграла

 

которое совпадает с формулой Симпсона (4.28).

Для оценки погрешности формулы Симпсона разложим подынте­гральную функцию f(x) в ряд Тейлора около точки х₁и проинтегриру­ем разложение почленно на интервале [ , ]:

 

(4.30)

 

 

Суммируя разложения около точки х₁для функции f(x) в узлах x₀ иx₂, получим, что

тогда интеграл (4.30) принимает вид

.(4.31)

 

Первое слагаемое в правой части формулы (4.31) совпадает с форму­лой Симпсона значит, второе слагаемое является главным членом по­грешности для интеграла на интервале [ , х₂]

(4.32)

Если интеграл вычисляется на интервале [ , ] путем разбиения его на четное число подинтегралов [ ], на каждой паре которых применяется формула Симпсона для узлов , то полная по­грешность будет суммой правых частей соотношения (4.32). При ма­лой величине шага hна основании метода средних прямоугольников получим

 

тогда полная погрешность запишется в виде

(4.33)

следовательно, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым численным коэффициентом в остаточном члене. Фор­мула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В против­ном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем методСимпсона. Например,[17]дляфункции формула трапеций при n = 2 для интеграла в пределах [-1,1] дает точный результат, равный 4, тогда как по формуле Симпсона получим результат, не совпадающий даже по знаку (-8/3).