В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым заменяется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл равен
| (4.34) |
где — коэффициенты Ньютона-Котеса; — общий знаменатель дробей, выражающих коэффициенты в формуле численного интегрирования; — относительные координаты (на промежутке [0,1])узловых точек, по которым строится интерполирующий полином.
В табл. 4.1 приведены значения и , входящих в формулу (4.34), для п= 1... 5 и выражения для главного члена погрешности . При п = 1 формулы Ньютона-Котеса дают формулу трапеций, п = 2 — формулу Симпсона.
Таблица 4.1. Коэффициенты формулы Ньютона-Котеса
| n = 1 | =2 | =1 =1 | =0 = 1 | |
| п = 2 | =6 | =1 = 4 с3 = 1 | =0 = 1/2 = 1 | |
| п = 3 | = 8 | = 1 = 3 = 3 = 1 | =0 = 1/3 = 2/3 = 1 | |
| п= 4 | = 90 | = 7 = 32 =12 = 32 =7 | =0 = 1/4 = 2/4 = 3/4 = 1 | |
| п = 5 | = 288 | = 19 = 75 =50 = 50 = 75 =19 | =0 = 1/5 = 2/5 = 3/5 = 4/5 =1 |