Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется автоматически. При этом, конечно, можно использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов самих методов. Однако для методов, использующих равноотстоящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования.
Так, два приближенных значения и интеграла
(4.35)
вычисляемые по методу трапеций с шагами и , связаны соотношением
(4.36)
где
.
Формула (4.36) получена методом математической индукции. Если выбирать начальный шаг интегрирования , то приближенное значение интеграла (4.35) по методу трапеций запишется в виде
(4.37)
где
При уменьшении шага вдвое получим приближенное значение того же интеграла:
, (4.38)
| . |
Сравнение формул (4.37) и (4.38) позволяет записать сотношение между значениями S0и S1
которое позволяет получать приближенное значение интеграла с шагом , вычислив подынтегральную функцию только в одном дополнительном узле . Продолжая процесс уменьшения шага интегрирования вдвое, приходим к формуле (4.36), по которой каждое новое приближенное значение интеграла (4.35) получаем, вычислив дополнительно подынтегральную функцию только в узле. Обращение же к программе метода трапеций потребовало бы вычисления функции в ( + 1) узле.
Аналогичным способом получены соотношения между двумя приближенными значениями и интеграла (4.35), вычисляемые по методу Симпсона с шагами и .
, (4.39)
где