В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на концах интервала. Вследствие этого коэффициенты всех сплайнов оказываются связанными системой линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.
Рассмотрим применение сплайнов для вычисления определенных интегралов или так называемую сплайн-квадратуру [9]. Пусть необходимо вычислить интеграл вида
(4.40)
Разобъем интервал на участки
на каждом из которых подынтегральную функцию f(x) заменим кубическим
сплайном :
где
Тогда интеграл (4.40) запишется как сумма интегралов от сплайнов:
Последняя формула упрощается при подстановке в нее выражений (2.25), (2.33) и (2.34) для коэффициентов и .
(4.41)
Нетрудно видеть, что первая сумма в формуле (4.41) есть формула трапеций, а вторая сумма — поправочное слагаемое для формулы трапеций, примененное к сплайнам, так как при малых значениях коэффициенты и близки по величине, коэффициент следовательно,
.
Значит, погрешность сплайн-квадратуры меньше, чем погрешность метода трапеций. Однако алгоритм интегрирования с помощью сплайнов сложнее методов трапеций и Симпсона за счет необходимости решения системы линейных уравнений для определения коэффициентов сплайнов . Поэтому рационально использовать сплайн-квадратурыв комплексе, когда сплайны применяются для сглаживания зависимостей, обработки экспериментальных данных и т.п.