Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения интерполяционного полинома выберем из условия обеспечения минимальной погрешности интегрирования. Впервые задача построения квадратурных формул подобного типа была решена Гауссом для интеграловвида
(4.42)
а для интегралов
(4.43)
с произвольной весовой функцией р(х) — Кристоффелем [2].
Для того, чтобы узлы квадратурных формул не зависели от пределов интегрирования, линейными преобразованиями переменной х осуществляется переход к стандартным пределам [—1,1]:
(4.44)
где t— новая переменная.
Тогда интеграл (4.42) принимает вид
4.45)
Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля для интегралов типа (4.43) при пузлах содержит 2n параметров:
(4.46)
где — весовые коэффициенты; — узлы; R— погрешность квадратуры.
Полином степени 2п - 1 также имеет 2n коэффициентов. Следовательно, можно так подобрать параметры и , чтобы формула (4.46) была точной, т.е. R= 0 для полиномов степени не выше 2п - 1 [2, 1].
Так, при п = 1 квадратура (4.46) будет точной для полиномов нулевой и первой степени. Этому требованию удовлетворяет метод средних прямоугольников, который является простейшим из методов Гаусса-Кристоффеля для весовой функции р(х) = 1.
В случае двух узловых точек (п = 2) квадратура будет точной для полиномов не выше третьей степени (2n—1 = 3). Пусть подынтегральная функция интеграла (4.45) представима полиномом с коэффициентами
(4.47)
Тогда интеграл от полинома принимает значение
. (4.48)
Интерполяционный полином Ньютона, совпадающий в узлах созначениям подынтегральной функции и , будет иметь первую степень (рис. 4.6):
, (4.49)
где .
Рис. 4.6. Метод Гаусса при n=2
Возьмем интеграл от полинома(4.49) и подставим в результат значения функции(4.47) в узлах t и :
| (4.50) |
Сравнивая первые части выражений (4.48) и (4.49), получим систему двух уравнений относительно узлов и
откуда получим
| . (4.51) |
При таких узлах формула(4.46) с учетом соотношений (4.50) принимает вид
(4.52)
где
Узлы и являются корнями полиномов Лежандра второй степени.
Весовые коэффициенты равны единице.
С увеличением числа узлов их значениями остаются корни полиномов Лежандра степени n, а весовые коэффициенты определяются через узлы по формуле [2]:
|
В таблице 4.2 приведены значения абсцисс и весов для квадратурных формул Гаусса методов порядка n.
Таблица 4.2. Абсциссы и веса для квадратурной формулы Гаусса
| n | Абсциссы | Веса |
Верхняя граница погрешности квадратурной формулы Гаусса оценивается выражением [2]
которое позволяет сделать вывод об эффективности метода для интегрирования функции высокой гладкости.