Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными пределами. Если подынтегральная функция после преобразования останется конечной на новом интервале, то для интегрирования можно использовать методы и программы, рассмотренные в предыдущих разделах. Довольно распространенным является способ образования верхнего предела интегрирования, при котором исходный несобственный интеграл разбивается на сумму двух интегралов:
|
|
Затем оценивается аналитически, а иногда и численными методами модуль вторго интеграла, и при выполнении условия
в качестве приближенного значения несобственного интеграла выбирается величина интеграла в пределах [0,b].
Для вычисления несобственных интегралов с бесконечными пределами применимы и квадратурные формулы Гаусса- Кристоффеля (4.46), узлы и веса которых определяются в зависимости от вида весовой функции , входящей под интеграл в форме произведения .
Так, для интегралов в пределах [ ] при узлами квадратурной формулы (4.46) являются корни многочленов Лаггера , а весовые коэффициенты определяются через интеграл [2]:
| , (4.54) |
где n – выбранное число узлов.
Как правило, в программах используют заранее вычисленные узлы и веса квадратурных формул, задаваемых в виде констант. В справочниках [10,18] имеются достаточно подробные таблицы узлов и весов квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля для различных видов функции p(x) и различных чисел n.
Для интегралов в пределах узлами квадратурной формулы (4.46) будут корни многочленов Эрмита , а весовые коэффициенты определяются по формуле, аналогичной (4.54), где интеграл необходимо взять в бесконечных пределах.
Несобственные интегралы с конечными пределами интегрирования, но с подынтегральной функцией, обращающиеся в бесконечность в отдельных точках интервала [a,b], вычисляют методами аддитивного или мультипликативного выделения особенностей, а также построения нестандартных квадратурных формул [2]. При аддитивном способе выделения особенности подынтегральную функцию представляют в виде суммы двух функций , где - ограниченная функция; - интегрируется аналитическими методами. Для мультипликативного способа функция f(x) представляется в виде произведения , где - ограничена; - положительная и интегрируемая на отрезке [a,b]. Тогда можно применить квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля, которые требуют вычисления в узлах функции , при этом рассматривается как весовая функция.