Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве известных входят функции y(x) и ее первые n производных по аргументу x:
(5.1)
Из теории ОДУ известно. Что уравнение (5.1) эквивалентно системе уравнений первого порядка
(5.2)
где k=1,…,n.
Уравнение (5.1) и эквивалентная ему система (5.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.
Первый тип – это задачи Коши или задачи с начальными условиями. Для таких задач, кроме исходного решения (5.1), в некоторой точке должны быть заданы начальные условия, т.е. значение функции y(x) и ее производных:
Для системы ОДУ типа (5.2) начальные условия задаются в виде
| (5.3) |
Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком псистемы. Если решение задачи определяется в интервале , то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум.
Третий тип задач дляОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме исходных функций у(х) и их производных в уравнения входят дополнительно т неизвестных параметров , которые называют собственными значениями. Для единственности решения на интервале необходимо задать п + т граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов затухания, распределения напряженности полей волновых процессов и т.д.
К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.
Большинство методов решения ОДУ основано на задаче Коши, алгоритмы для которой рассматриваются в настоящей главе.