Метод Эйлера

Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом ви­де, в так называемом виде Коши:

(5.4)

где k = 1,2,. ..,n.

При формулировке задачи Коши система (5.4) дополняется началь­ными условиями (5.3). Для простоты рассмотрим задачу Коши для од­ного уравнения типа (5.4), а затем полученные алгоритмы обобщим на систему пуравнений:

. (5.5)

В окрестности точки х₀функцию у(х) разложим в ряд Тейлора

(5.6)

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке при малых значениях hможно ограни­читься двумя членами ряда (5.6), тогда

y(x₀ + h) = y₀ + hy'(x₀) + O(h²), (5.7)

(5.8)

где O(h²) — бесконечно малая величина порядка h². Заменим произ­водную у'( ), входящую в формулу (5.7), на правую часть уравнения (5.5):

 

Теперь приближенное решение в точке = + h можно вновь рас­сматривать как начальное условие, и по формуле (5.8) найти значение искомой функции в следующей точке х₂ = + h. В результате полу­чен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера или методом ломаных. Последнее название связано с геометрической интерпретацией процесса (рис. 5.1); искомую функцию у(х) мы заменяем ломаной линией, представляющей собой отрезки ка­сательных к этой функции в узлах , ,...

 

Рис.5.1.Метод Эйлера

 

Формула (5.8) может быть получена и из других соображений. За­меним производную в левой части уравнения (5.5) приближенным ко­нечно-разностным отношением

 

Нетрудно видеть эквивалентность последнего выражения с алгорит­мом Эйлера (5.8).

На каждом шаге метода Эйлера решение у(х) определяется с по­грешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорцио­нальных h в степени выше первой. Это означает, что метод Эйлера имеет второй порядок локальной погрешности. Глобальная погреш­ность, как показано в [19], имеет первый порядок и при постоянном шаге hдля оценки погрешности применима первая формула Рунге (4.14):

(5.9)

 

где — приближенное решение дифференциального уравнения в точке х, полученное с шагом h; — приближенное решение того же уравнения с шагом kh; p— порядок метода.

Фомула (5.9) позволяет опытным путем определять шаг h, обеспе­чивающий требуемую точность решения у(х). Так же, как и при вы­числении определенных интегралов, можно осуществить автоматиче­ское изменение шага в процессе интегрирования дифференциального уравнения.

(5.10)

Для уточнения решения применима вторая формула Рунге (4.15):

 

Формула Эйлера (5.8) обобщается для системы ОДУ, записанных в форме Коши (5.4) с начальными условиями (5.3),

. (5.11)