Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [22] с помощью эквивалентных преобразований приведем к виду, удобному для программирования:
, (5.23)
где
Схема Мерсона требует на каждом шаге вычислять правую часть ОДУ в пяти точках, но за счет только одного дополнительного коэффициента kiпо сравнению с классической схемой Рунге-Кутта на каждом шаге можно определить погрешность решения Rпо формуле
. (5.24)
Для автоматического выбора шага интегрирования рекомендуется следующий критерий. Если абсолютное значение величины R, вычисленное по формуле (5.24), больше допустимой погрешности ε, то шаг hуменьшается в два раза и вычисления по схеме (5.23) повторяются с точки . Шаг hможно удвоить при выполнении условия:
32|R|< . (5.25)
Автоматический выбор шага позволяет значительно сократить время решения ОДУ. Схема (5.23) обобщается для решения системы ОДУ аналогично классической схеме Рунге-Кутта.