Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона

При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Количество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как искомая интегральная кривая у (х) определена в нескольких точках , можно применить алгоритмы интерполяции и сократить количество правых частей ОДУ для получения решения в очередной точке x_n₊₁.Подобные методы называют многоточечными или многошаговыми. Известно несколько типов таких методов [1,23, 24].

Алгоритмы многоточечных методов основываются на аппроксимации интерполяционными полиномами либо правых частей ОДУ, либо интегральных кривых .

Рассмотрим четырехточечный вариант одного из методов первого типа для задачи Коши, сформулированной в виде (5.5). С помощью любой из схем, рассмотренных в предыдущих разделах, вычислим решения заданного дифференциального уравнения в точках . Правая часть уравнения f(x, у) на интегральной кривой, соответствующей начальному условию, будет функцией только одного аргумента х

f(x) = f(x,y(x)),

значения которой в рассматриваемых точках обозначим

В окрестности узлов функцию f(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона (2.6):

(5.26)

где — разделенные разности (2.10) — (2.12).

Представим искомое решение в точке в виде тейлоровского разложения около точки :

, (5.27)

где — производныепо х отправой части дифференциального уравнения в точке .

Дифференцируя полином (5.26), получим выражения для производных

Последнее соотношение при в случае равноотстоящих узлов после подстановки в них разделенных разностей (2.10) — (2.12) принимает вид

(5.28)

Подставляя производные (5.28) в разложение (5.27), получим экс-траполяционную формулу Адамса-Башфорта [24]

(5.29)

имеющую пятый порядок локальной погрешности и четвертый — глобальной. Остаточный член формулы (5.29) равен [2]. Значительная величина коэффициента в остаточном члене обусловлена тем,что точка лежит вне интервала расположения узлов , по значениям функции f(x), в которых построен интерполяционный полином. Таким образом, имеем дело с экстраполяцией, погрешность которой в соответствии с оценкой (2.15) всегда больше, чем при интерполяции.

Изменяя количество членов, учитываемых в ряде (5.27), можно получить схемы Адамса-Башфорта различных порядков. Формула Адамса для переменного шага приведена в [2]. В табл. 5.1 приведены формулы методов Адамса-Башфорта от первого до шестого порядка.

Таблица 5.1. Методы Адамса-Башфорта

Порядок	Алгоритмы	Локальная погрешность

Первый
Второй
Третий
Четвертый
Пятый	+ }
Шестой

Анализ табл. 5.1 показывает, что метод Адамса-Башфорта порядка k требует k начальных значений: Поэтому его называют k-шаговым. С целью уменьшения погрешности способом, аналогичным получению формулы (5.29), по узлам строится интерполяционная формула Адамса–Маултона:

(5.30)

Последняя формула является неявной, так как искомая величина необходима для вычисления значений функции , входящей в правую часть. Выражение(5.30) можно рассматривать как нелинейное уравнение относительно неизвестной величины и решать его одним из методов, описанных выше. Наиболее часто здесь используется метод простых итераций, хотя в некоторых случаях оказывается более предпочтительным метод Ньютона [24]. Следует иметь в виду, что каждая итерация потребует нового вычисления правой части дифференциального уравнения f(x, у). Решение, определенное по экстра-поляционной формуле (5.29), обычно выбирается в качестве начального приближения для итерационных методов, поэтому выражение (5.29) рассматривается как формула прогноза, тогда выражение (5.30) является формулой коррекции.

Таким образом, вычисления на каждом шаге интегрирования дифференциального уравнения осуществляются по схеме , где этапы вычислительного процесса обозначены буквами Р — прогноз, Е — вычисление функции f(x, у), С — коррекция, т— количество итераций коррекции [9]. В [2] приводится эмпирическое правило, согласно которому погрешность решения убывает только до тех пор, пока ,где p — порядок используемого неявного метода. Следовательно, для метода четвертого порядка не следует выполнять более четырех итераций коррекции. С другой стороны, в [9] отмечается, что схема является более устойчивой в смысле накопления вычислительной погрешности по сравнению со схемой , следовательно, наиболее выгодной будет схема РЕСЕ. При реализации последней схемы на каждом шаге интегрирования осуществляется только одна коррекция.

Формулы (5.29) и (5.30) без изменения переносятся на системы ОДУ первого порядка, записанные в форме Коши.

В табл. 5.2 приведены формулы методов Адамса-Маултона от первого до шестого порядка.

Таблица 5.2. Методы Адамса-Маултона

Порядок	Алгоритмы	Локальная погрешность

Первый
Второй
Третий
Четвертый
Пятый
Шестой