В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА:
1) А представляет собой матрицу перестановок . Решение осуществляется путем присваивания , кроме переменных с индексами iи .
2) А является ортогональной матрицей, обозначенной через Q. Поскольку Q-1 = =QT, то решение QX = Всводится к формированию QTB; так как Qчасто имеет вид элементарных ортогональных преобразований (вращения, отражения), то алгоритм решения строится простым и достаточно эффективным способом.
3) А есть невырожденная диагональная матрица D, i= 1,2,.. .,0, . Решением DX — В является . Матрицу Dобычно хранят в виде вектора, не запоминают нулевые внедиагональные элементы.
4) А — невырожденная блочно-диагональная матрица DВ, у которой на главной диагонали находятся обратимые блоки размера 2 x 1 или 1 х 1, а вне блоков стоят нули, например:
Решение находится решением соответствующих систем порядка 2х1 и 1х1.
5) А есть невырожденная нижняя треугольная матрица. Обозначим ее L, тогда
cистема LX = В решается прямой подстановкой: используя первое уравнение, найти , подставив его во второе уравнение, найти , затем подставив , х2в третье уравнение, найти и т.д.
6) А есть невырожденная верхняя треугольная матрица, обозначаемая как U. Система UX= Врешается способом обратной подстановки с использованием уравнений от n-го до 1-го для нахождения последовательно неизвестных от хпдо .
В большинстве случаев матрица коэффициентов при неизвестныхАявляется матрицей общего вида, и прямое решение СЛАУ невозможно. Необходимо привести матрицуАк некоторым типовым формам.
Как правило, используется прием факторизации - разложения матриц на множители. Такой прием позволяет не только получить решение СЛАУ, но также дает новые возможности для анализа математических методов, разработки эффективных алгоритмов преобразований и т.п.
Способы представления матриц в виде произведения сомножителей основываются часто на разложении вида
A=A(1)A(2)… A(n),,
где каждое имеет специальную форму, удобную для решения.
Рассмотрим систему уравнений АХ = В. Пусть матрица А представлена в факторизованной форме, тогда можно выполнить замену переменных
Y1=(A(2)… A(n))x,,
а затем решить систему относительно , произвести замену переменных и решить систему вида и т.д., пока не будет получено решение системы уп-1, где очевидно
X = Yn.
Методы решения СЛАУ отличаются друг от друга видом множителей А(i) и способом их построения.
Общий подход к решению СЛАУ может быть сформулирован также на основе теории линейных операторов. В этом случае приведение СЛАУ к типовой форме осуществляется путем действия на нее некоторого линейного оператора
О (АХ = В),
в результате получается преобразование СЛАУ
А'Х = В',
гдеА' = ОА, В' = ОВ — преобразованные матрица коэффициентов при неизвестных и вектор правых частей.
Линейный оператор О как правило строится также в виде произведения факторизованных матриц.
Преобразования в прямых методах основаны на исключении неизвестных из некоторых уравнений. Тем или иным способом осуществляется подбор множителей (делителей), на которые умножаются (делятся) строки (столбцы) матрицы А и выполняется операция вычитания, обращающая нужные элементы в ноль.