Пусть матрицаА— квадратная невырожденная. Метод Гаусса-Жордана позволяет получить обратную матрицу А-1 и найти решение
.
Данный метод использует тот же прием исключения, что и метод Гаусса, но факторизация осуществляется в виде
где Тk,с— полные столбцовые элементарные матрицы, элементы к-го столбцакоторых находятся на k-м шаге факторизации следующим образом:
Обращение таких матриц может быть выполнено сменой знаков внедиатональных элементов и присвоением .
Если необходимо получить обратную матрицу на месте исходной, то можно использовать следующий алгоритм:
1) Для k= 1,2,..., пвыполнить пп.2, 3, 4.
2) Сформировать вектор Uтакой, что совпадает с k-м столбцом матрицы, обратной к Ткc.
3) Заменить k-й столбец матрицы k-м столбцом единичной матрицы.
4) Выполнить операции, моделирующие умножение на , для чего:
, дляi= 1,2,..., k-1иi= k+1, k + 2,..., п;
б) для j = 1,2,...,п.
5) Конец алгоритма. На месте исходной матрицы получена обратная к ней.
Метод Гаусса-Жордана имеет все недостатки метода Гаусса.