Поворотные точки

Наиболее простой для применения критерий, особенно если ряд изображен графически, состоит в подсчете пиков и впадин. «Пик»— это величина, которая больше двух соседних. «Впадина», наоборот, - значение, которое меньше двух соседних, Оба эти значения на­зываются «поворотными точками» и нам предстоит рассмотреть во­прос: каково распределение числа поворотных точек в случайном ря­ду?

Рассмотрим конечный ряд из n величин . Началь­ное значение нельзя считать поворотной точкой, так как неизвест­но; и аналогично, нельзя рассматривать в качестве поворотной точ­ки последнее значение, так как неизвестно . Для определения поворотной точки требуются три последовательных значения. Если ряд случаен, то эти три значения могут следовать в любом из шести возможных порядков с равной вероятностью. Только в четырех из них будет поворотная точка, а именно когда наибольшее или наимень­шее из трех значений находится в середине. Следовательно, вероят­ность обнаружения поворотной точки в любой группе из трех значений равна 2/3.

Для группы из n величин определим «счетную» переменную вершин X как

Тогда число поворотных точек р в ряде есть просто , и сразу же получаем:

Это - ожидаемое число поворотных точек (другими словами, поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения). Если их больше (редкий случай), то ряд является быстро колеблющимся, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения положительно коррелированны. Од­нако для того, чтобы сделать вывод, существенна ли разница между наблюденным и ожидаемым числом, требуется знать дисперсию р. Можно показать, что с ростом n, распределение быстро приближается к нормальному с дисперсией