При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления предела
Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие.
Определение 5.Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности
точки Говорят, что функция имеет в точке асимптотическое разложение го порядка, если существуют числа такие, что в некоторой в некоторой проколотой окрестности представляется в виде
Здесь Равенство (3) означает, что функция аппроксимируется (приближенно равна) в некоторой малой окрестности точки многочленом. В каком случае функция имеет асимптотическое разложение порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема 2.Пусть функция имеет в точке производные до го порядка включительно. Тогда имеет в точке асимптотическое разложение порядка вида
(формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).
Если в (4) положить то получим формулу называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.
Теорема 3.Имеют место следующие разложения:
Доказательствоэтих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2) .
Итак, пусть По теореме 1 имеем
Значит, в формуле
будут отсутствовать все четные степени а слагаемые с нечетными степенями имеют вид Следовательно имеет место формула 2.
Замечание 1.В формуле 2 остаточный член можно записать в виде а в формуле 3–
в виде (почему?).
Теорема 2 аппроксимирует функцию лишь в достаточно малой окрестности точки Условия представления функции на некотором отрезке (где может быть достаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении.
Теорема 4.Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют и непрерывны на отрезке ;
2) производная существует и конечна по-крайней мере на интервале
Тогда для всехфункция представляется в виде
где точка находится между и
Формулу (5) называют (глобальной) формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если в формуле (5) положить то получим равенство или, обозначая будем иметь
Эту формулу называют формулой Лагранжа. Она верна в случае, когда функция непрерывна отрезке а существует и конечна по-крайней мере на интервале