Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций

1. Обозначения

 

Множества (любой природы) обозначаются большими латинскими буквами а их элементы – малыми латинскими буквами Большими латинскими буквами обозначаются также высказывания (например, {число делится на 3}). Везде ниже вводятся следующие обозначения:

“всякий”, “каждый”, “ для всякого”,“для каждого”,

“существует”, “найдется хотя бы один”,

“принадлежит”, “не принадлежит”,

“следует из”, “вытекает из”,

“эквивалентно”, “необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”,

“входит в”, “содержится в”

или “по определению” (в тексте слово “если”)

логическое “И”, логическое “ИЛИ”,

объединение множеств и пересечение множеств и

разность множеств и дополнение (если высказывание, то отрицание высказывания ).

Через обозначаются множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно

 

2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модуль числа определяется следующим образом:

Свойства модуля:

1.2.3.

4.5.6.7.

8.

Понятие функции

Пусть даны два множества и Определение 1.Говорят, что на множеситве задана функция отображающая… Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента указывается…

Предел функции

Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный…   и просто - окрестность точки совпадающую с указанным интервалом:

Существуют постоянные такие, что для всех из проколотой окрестности точки имеет место неравенство

Замечание 1.Если функция удовлетворяет условию, записанному в рамке, то ее называют функцией класса и пишут Функции класса обладают следующими очевидными свойствами.

Теорема 2. Если и то

 

 

Бесконечно малые функции и их свойства

  Например, функция а функции не являются функциями класса Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса

Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых

 

Введем следующее понятие. Пусть конечная или бесконечная точка и пусть функ-

ции и определены в некоторой проколотой окрестности точки

Определение 4.Две бесконечно малые функции и (при ) называются

эквивалентными, если в некоторой проколотой окрестности и если

При этом пишут:

Важность этого понятия становится ясной при формулировке следующего утверждения.

Теорема 6. Если и если существует предел то существует и предел и он также равен числу

Доказательство.Переходя в тождестве к пределу при и учитывая, что получаем утверждение теоремы.

Используя эту теорему, а также таблицу эквивалентных бесконечно малых:

Таблица 1.

Если при то при верны следующие соотношения:

 

const.

можно без особого труда вычислять пределы конкретных функций.

Пример 1.

 

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Определение 5. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при если для всякого существует число такое, что При этом пишут

Лекция 2. Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции. Разрывные функции и классификация точек разрыва. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная сложной функции. Таблица производных

Односторонние пределы

Дадим их кратко.

Определение 1. Левый предел функции в точке (обозначение: ):

Правый предел функции в точке (обозначение: ): Очевидно следующее свойство:

Для существования обычного предела необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и чтобы имело место равенство

Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Определение 2. Функция называется непрерывной в точке если т.е. если

Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл

На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и… Определение 4. Если существует (конечный) предел  

Арифметические действия над производными

Теорема 4.Если функции дифференцируемы в точке то в этой точке дифференцируемы и функции причем

(в рассматриваемой точке ).

Если, кроме того, то в точке дифференцируемо и частное, причем

Доказательство проведем для производной суммы. Имеем поэтому

Теорема доказана.

 

Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически

Теорема 5.Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окрестност и пусть выполнены условия: 1. функция дифференцируема в точке 2. функция дифференцируема в соответствующей точке

Производные простейших элементарных функций

Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующее утверждение. Теорема 8.В области определения соответствующих функций имеют место формулы: … Таблица производных

Логарифмическая производная

При дифференцировании показательно-степенной функции обычно используют логарифмическую производную Делается это так:

 

Например,

 

Производные и дифференциалы высших порядков

если известна производная ( порядка), то производная го порядка определяется так: При этом функция называется раз дифференцируемой… Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно: если известен дифференциал порядка то дифференциал го порядка определяется так: при этом дифференциал …

Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа

  Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения… Определение 5.Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности

Применения формулы Тейлора

 

а) Приближенное вычисление значений функции. Если в формуле (4) (или (5)) отбросить остаточный член, то получим приближенное значение функции

 

с точностью до модуля остаточного члена. Если величина то и погрешность этого приближенного равенства будет очень малой. Например, При этом

 

 

б) Вычисление пределов. Ранее мы отметили, что при вычислении предела не достаточно формулы эквивалентности , так как при использовании этой формулы не

исчезает неопределенность. В таких случаях пользуются локальной формулой Тейлора (4), записывая в ней столько слагаемых, чтобы стало возможным ликвидировать неопределенность. В нашем примере поступаем так:

Правило Лопиталя

Другой способ раскрытия неопределенностей типаили доставляет так называемое правило Лопиталя, к изложению которого мы переходим. Теорема ЛопиталяПусть функции и в некоторой проколотой окрестности … и непрерывны и дифференцируемы в

Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная такая, что … 2. Теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке то она… 3.Теорема Больцано-КошиЕсли функция непрерывна на отрезке то каково бы ни было значение существует значение …

Локальный экстремум

Определение 2.Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если существует такое, что выполняется неравенство . Если… Заметим, если неравенства или обращаются в равенство лишь в одной точке … Замечание 2.Слово “локальный” здесь означает, что введенное понятие экстремума верно лишь в достаточно малой…

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

  Определение 3.Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует … ниже своей касательной (3) в точке т.е. если Если же

Исследование функций с помощью высших производных

Используя локальную формулу Тейлора, можно доказать следующие утверждения.

4. Пусть функция дифференцируема раз в критической точке и пусть при этом

Тогда если то при в точке функция достигает минимума; при функция достигает максимума в точке .Если же

то в точке функция не имеет локального экстремума.

5. Пусть функция трижды дифференцируема в точке и выполнены условия: а) б) Тогда –точка перегиба кривой

Например, при исследовании функции на экстремум в точке исследовать знак производной довольно сложно. Так как

 

то (согласно утверждению 4) в точке функция достигает минимума.