Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению
Определение 3.Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности кривая находится
ниже своей касательной (3) в точке т.е. если Если же
то кривая называется выпуклой вниз в точке (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке ). Говорят, что кривая выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке этого интервала.
На рисунке Р.2 функция выпукла вверх в точке а на Р.3 – выпукла вниз.
Теорема 3.Пусть функция дважды дифференцируема на интервале . Тогда справедливы высказывания:
1. если то криваявыпукла вверх на
2. если то кривая выпукла вниз на
Доказательство.Пусть произвольная точка интервала Окружим её отрезком Так как функция удовлетворяет на этом отрезке всем условиям теоремы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всех имеет место представление
С другой стороны, в точке функция имеет касательную с уравнением .Значит, Отсюда видно, что если (тогда и ), то значит,
кривая выпукла вверх в точке Если же то то значит, кривая выпукла вниз в точке Теорема доказана.
Определение 4.Точка называется точкой перегиба кривой если:а) дифференцируема в точке ; б) кривая при переходе через точку изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность изменяет знак при переходе через точку ).
Необходимое условие точки перегиба.Если - точка перегиба и если существут то
Доказательствовытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства
Замечание 4.К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки , для которых Однако “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная не существует или равна Например, в точке функция имеет производную И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.
Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функциядифференцируема в точке и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная изменяет знак, то точка перегиба кривой