На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности . Сместимся из точки в точку Величина называется приращением аргумента в точке а величина = называется приращением функции в точке (соответствующим приращению аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции в точке и обозначают При этом функцию называют дифференцируемой в точке а
величину называют дифференциалом функции в точке
Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так как то т.е.
т.е. производная функции в точке является угловым коэффициентом касательной к кривой с точкой касания
С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому
дифференциал равен приращению касательной к графику функции при переходе аргумента из точки в точку
Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке
(касательная), (нормаль).
Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от момента до момента то средняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент
Нетрудно показать, что
любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке (обратное, вообще говоря, неверно; пример: непрерывна в точке но не существует).