КРУТИЛЬНИХ КОЛИВАНЬ

 

Мета роботи: Визначити момент інерції стержня відносно осі, яка проходить через його центр.

1. Прилади і матеріали:

1.1. Крутильний маятник.

1.2. Додаткові тіла (циліндри, кулі тощо).

1.3. Штангенциркуль.

1.4. Лінійка.

1.5. Секундомір.

 

2. Загальні положення

Крутильні коливання можна легко спостерігати за допомогою експериментальної установки, схематично представленої на рис.4.1.

Це установка , що включає в себе сталевий провіда, закріплений зверху на штативі. До нижнього кінця проводу жорстко прикріплений масивний стержень АВ, момент інерції якого визначається.

Якщо за допомогою зовнішнього моменту сил стержень повернути на певний кут j, то виникне деформація кручення сталевого проводу. Реакція проводу на дію зовнішніх сил полягатиме в появі моменту пружності , прикладеному до стержня, при цьому виконається умова

. (2.1)

Якщо дію зовнішніх сил припинити, то стержень буде здійснювати обертально-коливні рухи навколо положення рівноваги.

Кінетична енергія стержня, що обертається навколо нерухомої осі визначається співвідношенням

, (2.2)

де J - момент інерції тіла відносно заданої осі, w - кутова швидкість обертання. Вираз (2.2) визначає кінетичну енергію крутильного маятника. Повернення стержня до положення рівноваги відбувається завдяки сил пружності, які діють зі сторони пружноздеформованого проводу.

Вираз для потенціальної енергії здеформованого проводу запишемо у вигляді , (2.3),

де k- модуль кручення, величина якого залежить від розмірів і пружних властивостей проводу.

Кінетична і потенціальна енергії у процесі коливань маятника взаємно перетворюються одна в одну, але при цьому повна механічна енергія в довільний момент часу

залишається сталою (2.4).

Диференціюючи вираз (2.4) за часом, отримаємо

 

. (2.5)

Враховуючи те, що , а , а також використовуючи закони: Ньютона та Гука , рівняння ((2.5) перепишемо у вигляді , або інакше

(2.6),

де . (2.7)

Рівняння (2.6) є рівнянням руху крутильного маятника. Розв’язком цього рівняння є

(2.8).

де - максимальне відхилення рухомої частини маятника від положення рівноваги, - початкова фаза коливань, - кругова частота.

Можна бачити, що стержень здійснює гармонійні коливання з періодом (2.9).

Вираз (2.9) випливає з (2.6), як наслідок того, що періодом косинуса є 2p.

3. Виведення розрахункової формули.

Робочу формулу для розрахунку моменту інерції стержня можна отримати на підставі формули (2.9). Величина є мірою інерції при обертальному русі тіла. Момент інерції - це скалярна величина, яка залежить від маси, форми й розмірів тіла, а також вибору осі обертання.

Так, момент інерції матеріальної точки масою m, яка знаходиться на відстані r від осі обертання, являє собою добуток mr², тобто

. (3.1)

Момент інерції твердого тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моментів інерції всіх його матеріальних точок відносно цієї осі, тобто сумі добутків мас матеріальних точок на квадрати їх відстаней до осі обертання:

. (3.2)

Для обчислення моменту інерції різних тіл застосовують інтегральне числення. Але момент інерції тіла можна визначити і дослідним шляхом, зокрема так, як описано у цій лабораторній роботі.

Якщо підвісити на проводі стержень і закрутити провід, то утворений маятник буде здійснювати крутильні коливання навколо положення рівноваги. При цьому період коливань T буде тим більше, чим більше момент інерції підвішеного тіла. Час повного коливання Т (тобто період коливань) виражається формулою (2.9), в якій - постійна величина, що залежить від матеріалу дроту і називається коливальною жорсткістю, або модулем кручення. Оскільки ця величина не відома, в роботі її позбуваються в такий спосіб.

Приєднуючи до підвішеного стержня друге тіло з моментом інерції J_1, змінюють момент інерції системи, а також період її коливань

 

. (3.3)

 

З формул (2.9) та (3.3) визначається :

 

, . (3.4)

Оскільки модуль кручення при незмінних зовнішніх умовах є стала величина, то, порівнявши праві частини рівнянь (3.4), можна знайти

. (3.5)

Якщо момент інерції приєднаного тіла J₁ відомий, то можна знайти момент інерції J основного тіла (стержня).

Для зручності приєднане тіло вибирають правильної геометричної форми, момент інерції J₁ якого легко знаходять обчисленням.