Остаточный член

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах :

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

где . Можно показать, что

где обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

50. Разложить по формуле Маклорена функции .

51. Что такое остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа?

Пусть , непрерывна на отрезке , на интервале . Тогда справедлива формула (1), в которой

где .

Доказательство: будем проводить по индукции, считая . При теорема утверждает, что при некотором

Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.

Предположим, что утверждение верно при и установим, что оно верно и при n. Использую теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности )

где ,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.

Теорема доказана.

52. Дайте определение дифференциала функции. Запишите формулу для его вычисления.