Величины постоянные и переменные

1. Дайте определение постоянной и переменной величины. Приведите примеры.

Величины постоянные и переменные

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и величинами переменными Определение. Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение (или вообще, или в данном процессе).

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в видеx = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

 

4. Перечислите основные элементарные функции.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

· алгебраические:

· степенная;

· рациональная.

· трансцендентные:

· показательная и логарифмическая;

· тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

 

5. Дайте определение сложной функции, обратной функции.

Пусть функция определена на множестве и – множество значений этой функции. Пусть, множество является областью определения функции. Поставим в соответствие каждому из число. Тем самым на множестве будет задана функция. Ее называют композицией функций или сложной функцией.

Функция называется обратимой, если для любых двух различных чисел и , принадлежащих , числа и также различны.

6. Дайте определение модуля действительного числа. Перечислите свойства, выясните геометрический смысл.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.

Короче это записывают так:

 

Например,

 

Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.

Все три случая охватываются одной формулой:

Перечислим основные свойства модуля числа, которые в дальнейшем будем учитывать при решении уравнений и неравенств:

1) ; 5) , ;

2) ; 6)

3) ; 7) ;

4) ; 8)

 

Дайте определение и – окрестностей точки. Приведите пример.Определение. - окрестностью точки называется интервал , не содержащий точку , т.е.

 

7. Дайте определение предела числовой последовательности.

Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

(1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

если .

 

8. В чем состоит геометрический смысл предела числовой последовательности?

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех х¹хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

 

9. Показать, что .

Докажем это непосредственно исходя из определения предела последовательности:
Для любого существует такое число N, зависящее от поэтому запишем , что начиная с какого то номера n, будет выполняться равенство:

Что и требовалось доказать, получаем что предел данной последовательности равен нулю!

10. Найдите пределы .

11. Сформулируйте второй замечательный предел.

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: – это иррациональное число.

В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

 

12. Дайте понятие натурального логарифма, установите его связь с десятичным.

Логарифмом числа b по основанию a ( b > 0, a > 0, a=1 ) называют показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b :

13. alogab=b

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством.

Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение log10b=lgb и называется десятичным логарифмом .

 

14.Дайтеопределение пределафункции непрерывного аргумента при . Выясните геометрический смысл.

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) при х→х₀, если для каждого положительного числа ε, можно указать такое положительное число δ, что для всех х отличных отх₀, и удовлетворяющих неравенству

│х – х₀│< δ имеет место неравенство │f(x) - A│< ε.

Рассмотрим два частных случая.

1. Пусть х→ ∞.

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) при х→∞, если каково бы ни было ε>0, можно найти такое число N>0, что для всех х>N, выполняется неравенство │f(x) - A│< ε.

Записывают

2. Пусть х→ - ∞.

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) при х→ -∞, если каково бы ни было ε>0, можно найти такое число М>0, что для всех х<М, выполняется неравенство │f(x) - A│< ε.

Записывают.

Замечания:

1. Следует заметить, что при рассмотрении предела функции у=f(x) при х→х₀, в самой точке х₀ функция может быть не определена.

2. Если функция имеет предел, то этот предел единственный.

15.Дайте определение предела слева и предела справа. Найдите пределы слева и справа функции в точках и .

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

16.Какая функция называется бесконечно малой в окрестности точки . Приведите пример.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если

17.Какая функция называется бесконечно большой в окрестности точки . Приведите пример.

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией или бесконечно большой величиной при х стремящемся к х₀, если для любого сколь угодно большого числа М можно указать зависящее от М число d(М) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½x₀ -х½< d, имеет место неравенство ½f (x)½ > М. Запись
.

18.Перечислите основные свойства бесконечно малых функций. Запишите их в символической форме.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

19. Докажите необходимое и достаточное условие существования предела функции: для того чтобы функция при имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки функцию можно было бы представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой.

20.Перечислите основные свойства бесконечно больших функций. Запишите их в символической форме.

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

.

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

.

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:

21. Установите связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x.

Примеры.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.

 

22. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве)Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

23.Сформулируйте теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Пусть заданы две последовательности и . Если и, начиная с некоторого номера, , то выполняется неравенство:

Теорема

Если и существует номер , что для любого выполняется неравенство , то последовательность сходится, причем 24. Найти пределы , . 25. Сформулируйте теорему о сжатой переменной.

Уравнение касательной

y/(x)=limΔx→0ΔxΔy   Δy=f(x+Δx)−f(x).

Определение

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .

Пример

Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную .

Пример

Задание. Найти вторую производную неявной функции .

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем :

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство еще раз:

Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную :

Ответ.

46.Приведите пример функции, заданной параметрически. Объясните, как найти ее производную.

Определение

задают параметрическое представление функции одной переменной. Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

Пример

Задание. Найти вторую производную для функции заданной параметрически.

Решение. Вначале находим первую производную по формуле:

Производная функции по переменной равна:

производная по :

Тогда

Вторая производная равна

Ответ.

47.Найдите производные указанных функций

48.Сформулировать теорему о разложении функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Разность между функцией и её многочленом Тейлора называется -м остатком, или -м остаточным членом; обозначим этот остаток через :

Формула , в более развёрнутой форме имеющая вид

называется формулой Тейлора для функции в точке , а представление функции в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

дающая возможность для приближённого нахождения значений функции .

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) Пусть -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

49. Что такое формула Маклорена?

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

где

здесь — натуральное, — числа Бернулли, — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные , — многочлен Бернулли, — дробная часть x. В случае, когда мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли определяются рекуррентно как

Выражение называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая,…

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Отсюда получаем, что