T – критерий Стьюдента.

Что такое достоверная разница, достоверное отличие?

Если мы говорим о том, что разница между двумя группами была достоверной, это означает, что группы действительно различны и эта разница довольно серьезна. Если мы говорим, о недостоверной разнице - это означает, что хотя полученные в процессе контрольных испытаний цифры обеих групп и отличаются друг от друга, но на самом деле различий между группами нет, и уровень развития изучаемых показателей одинаков.

 

Для сравнительного анализа изучаемых показателей по методу t - Стьюдента определяются следующие значения:

(икс среднее) - среднее арифметическое значение величины показателя;

σ(сигма) – среднее квадратичное отклонение значения показателя;

m(м) – ошибка средней арифметической.

Следует обратить внимание на то, что все три показателя определяются для изучаемых значений каждой группы отдельно, для контрольной и экспериментальной:

конт. эксп.

σ конт. σ эксп.

mконт. mэксп.

 

Рассмотрим формулы для определения данных показателей.

- среднее арифметическое значение показателя -определяется по формуле (1.1):

=, где (1.1)

Sп – сумма значений показателя в группе;

n – количество людей в группе.

σ - среднее квадратичное отклонение значения показателя -определяется по формуле (1.2):

, где (1.2)

R – разность между максимальным и минимальным значением показателя;

А - табличное значение из значений n (количества людей в группе), таблица 1.1.

Таблица 1.1

Табличные значениеА

(n- количество испытуемых в группе)

n	А	n	А
	-		5.15
	1.13		5.26
	1.69		5.35
	2.06		5.43
	2.33		5.50
	2.53		5.57
	2.70		5.61
	2.85		5.68
	2.97		5.72
	3.08		5.77
	3.17		5.80
	3.26		5.84
	3.34		5.88
	3.41		5.92
	3.47		5.94
	3.53		5.98
	3.59		6.00
	3.64		6.02
	3.69		6.06
	3.74		6.09
	3.82		6.12
	3.90		6.13
	3.96		6.14
	4.03		6.17
	4.09		6.18
	4.14		6.21
	4.19		6.23
	4.24		6.26
	4.28		6.27
	4.32		6.28
	4.41		6.33
	4.50		6.34
	4.64		6.37
	4.76		6.43
	4.85		6.47
	4.94		6.48
	5.01

 

m - ошибка средней арифметической - определяется по формуле (1.3)

,где (1.3)

 

σ – среднее квадратичное отклонение;

n – количество людей в группе.

 

Данное значение знаменателя - корень квадратный из (n – 1) - справедливо только при n меньше 30.

Если количество человек в группе равно или больше 30, то формула (1.3) будет иметь следующий вид:.

 

Зная величины и m каждой группы можно определить значение критерия t-Стьюдента по формуле (1.4)

, где (1.4)

 

– средняя арифметическая;

m – ошибка средней арифметической.

 

В числителе данной формулы определяется разность между каждой группы. Следует помнить, что из большего значения вычитается меньшее значение. Таким образом, 1 – это большее значение (которое наблюдается в одной из групп, либо в контрольной, либо в экспериментальной). 2 – соответственно, меньшее значение показателя.

После определения значения t остается только установить - достоверно или недостоверно различие в величине изучаемого показателя, между контрольной и экспериментальной группами.Для этого используется таблица 1.2.

В данной таблице, в одной из колонок, находятся значения так называемых «степеней свободы - f».

Степень свободы (f) определяется по формуле (1.5):

f = (nконт. + nэксп.) – 2, где (1.5)

n – количество человек в контрольной и экспериментальной группах.

 

 

Зная значение степени свободы(f) и значение критерия t-Стьюдента,определяем достоверность отличий. Какэтосделать? В таблице 1.2., напротив найденного значения степени свободы, имеются два значения Р. Именно с этими значениями Р нужно сравнить полученное значение t.

Таблица 1.2

Граничные значения t-критерия Стьюдента

Степень свободы (f)	Границы значения	Степень свободы (f)	Границы значения
P – 0,05	Р – 0,01	Р – 0,05	Р – 0,01
	12,71	63,60		2,08	2,82
	4,30	9,93		2,07	2,82
	3,18	5,84		2,07	2,81
	2,78	4,60		2,06	2,80
	2,57	4,03		2,06	2,79
	2,45	3,71		2,06	2,78
	2,37	3,50		2,05	2,77
	2,31	3,36		2,05	2,76
	2,26	3,25		2,04	2,76
	2,23	3,17		2,04	2,75
	2,20	3,11		2,02	2,70
	2,18	3,06		2,01	2,68
	2,16	3,01		2,00	2,66
	2,15	2,98		1,99	2,64
	2,13	2,95		1,98	2,63
	2,12	2,92		1,98	2,62
	2,11	2,90		1,97	2,60
	2,10	2,88		1,96	2,59

 

Если значение t будет меньше значения (Р – 0,05), это означает, что достоверного отличия между величиной изучаемого показателя в контрольной и экспериментальной групп нет.

При описании данного сравнения в тексте работы, после слов об отсутствии достоверного отличия, обязательно следует указать, что Р> 0,05. Именно знак > указывает на отсутствие достоверности различий.

Если значение t будет равно значению (Р – 0,05) или будет находиться между значениями (Р - 0,05) и (Р – 0,01), или будет больше значения (Р – 0,01) - это говорит о том, что между величинами показателей контрольной и экспериментальной групп есть достоверные отличия.

При описании этого сравнения в тексте работы, после слов о достоверности отличия, необходимо указать, что - Р< 0,05 (если значение t равно табличному значению (Р – 0,05) или находится между значениями (Р – 0,05) и (Р – 0,01). Если значение t равно табличному значению (Р – 0,01) или больше данного значения, то следует указать в тексте работы, что Р < 0,01. Именно знак < указывает на наличие достоверного отличия.

 

Рассмотрим пример использования критерия t-Стьюдента для определения наличия достоверной разницы (отличия) между показателями в контрольной и экспериментальной групп.

Пример:

Изучаемый показатель – скорость реакции на движущийся объект, который оценивается в баллах от 1 до 10.

В контрольной группе – 12 человек.

В экспериментальной группе – 15 человек.

Значения данного показателя в баллах каждой группе:

Контрольная группа: 3, 6, 5, 4, 4, 7, 5, 8, 3, 6, 8, 7.

Экспериментальная группа: 5, 7, 8, 3, 4, 6, 5, 5, 8, 5, 6, 4, 6, 5, 8.

 

1. Определим значение контрольной и экспериментальной групп, по формуле 1.1:

(1.1)

Для этого находим сумму (Σ) всех значений изучаемого показателя в каждой группе.

Σ значений в контрольной группе составляет: (3+6+5+4+4+7+5+8+3+6+8+7) = 66.

Σ значений в экспериментальной группе составляет: (5+7+8+3+4+6+5+5+8+6+4+5+8) = 74.

n в контрольной группе равно 12.

n в экспериментальной группе равно 15.

Подставляем значения в формулу 1.1.

 

конт. = = 5,5

эксп. = = 4,9.

2.Определим значение σ для обеих групп по формуле 1.2:

(1.2)

Для того, что определить значение R для каждой группы, нужно найти максимальное и минимальное значение показателя. В контрольной группе среди баллов – максимальное значение 8, минимальное значение 3. В экспериментальной группе также, максимальное значение 8, а минимальное значение показателя 3.

Таким образом, R в каждой группе будет равен: (8-3) = 5.

В таблице 1.1 находим значение А для каждой группы. Оно зависит от количества людей в группах.

Так, в контрольной группе, при n = 12, А = 3,26.

А, в экспериментальной группе, при n = 15, А = 3,47.

Подставляем полученные значения в формулу 1.2.

σ конт. = = 1,53.

σ эксп. = = 1,44.

3.Определим значение m в контрольной и экспериментальной группах по формуле 1.3:

(1.3)

Мы используем именно эту формулу, поскольку в каждой группе количество человек меньше 30.

σ в каждой группе уже известна. Определим знаменатель формулы.

В контрольной группе 12 человек, следовательно, мы находим корень квадратный из (12 – 1). Он будет равен 3,32.

В экспериментальной группе 15 человек, следовательно, мы находим корень квадратный из (15 – 1). Он равен 3,74.

Подставляем известные значения в формулу 1.3.

mконт = = 0,46.

mэксп. = = 0,38.

4. Определяем значение критерия t – Стьюдента по формуле 1.4:

(1.4)

Все необходимые значения известны. Подставляем их в формулу 1.4.

Мы знаем о том, что в числителе формулы из большего значения нужно вычесть меньшее. В нашем случае в контрольной группе = 5,5; а в экспериментальной группе =4, 9.

Далее, определим значение m в квадрате для каждой группы.

В контрольной группе: m = 0,46 x 0,46 = 0,21.

В экспериментальной группе: m = 0,38 х 0,38 = 0,14.

Следовательно, в формулу мы записываем такие значения:

t = = = = 1,02.

 

5. Зная значение критерия t – Стьюдента можно установить степень достоверного отличия по величине изучаемого показателя в обеих группах.

Для этого используем таблицу 1.2.

Прежде всего, определим величину степени свободы (f), помня о том, что в контрольной группе n = 12, а в экспериментальной группе n = 15.

f = (12 + 15) – 2 = 27 – 2 = 25.

В таблице, напротив значения (f), равному 25, указаны значения Р:

(Р-0,05) = 2,06. (Р-0,01) = 2,29.

Полученное нами значение критерия t-Стьюдента равно

1, 02. Это значение меньше чем 2,06.

Следовательно, по величине показателя скорости на движущийся объект, между контрольной и экспериментальной группами достоверной разницы нет, (Р> 0,05).