Кинетическая энергия вращающегося тела.

 

 

Начнем с рассмотрения вращения тела вокруг неподвижной оси, проходящей чрез него.

Мысленно разбив тело на элементарные объемы v_i массами m_i, находящиеся на расстоянии r_i от оси, получим, что скорость элементарной массы определяется выражением

v_i = w×r_i (1)

Следовательно, для кинетической энергии i-той материальной массы получим

 

Т.к. мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то w для всех точек выделенного объема массами m_i будет одинаково, тогда получим

 

По определению m_ir_i² – момент инерции, получим:

 

Формула (3) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Плоское движение тела может быть представлено как положение двух движений – поступательного, с некоторой скоростью v₀, и вращения вокруг соответствующей оси с угловой скоростью w. Поэтому, произведя некоторые преобразования, получим

 

Если ось вращения проходит через центр масс, то r_c = 0, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия центра масс.

Обозначим через v_c скорость центра масс, а через I_c момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, тогда получим

 

Формула (5) определяет кинетическую энергию тела при плоском движении, например, цилиндр скатывается по наклонной плоскости.