Основные аксиомы, теоремы и тождества алгебры логики

Методы синтеза и анализа всех классов цифровых схем построены на базе алгебры логики, которая является основным математическим аппа­ратом описания и преобразования структуры цифровых схем [1].

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 0 и 1 (например, 0 – событие не происхо­дит, 1 – происходит; 0 – ложное высказывание, 1 – истинное; 0 – низкий уровень напряжения, 1 – высокий; 0 – разомкнутый контакт, 1 - замкну­тый). Значения переменных не отображают каких-либо количественных значений, а имеют лишь символическое значение.

Основные соотношения алгебры логики приведены в табл. 1. В справедливости приведенных соотношений можно убедиться, используя метод перебора. При преобразовании логических выражений, как и в обычной алгебре, должен соблюдаться порядок выполнения операций (по­рядок старшинства операций) – сначала отрицание, затем конъюнкция и потом дизъюнкция. Приведенный порядок выполнения операций можно изменить и задать его с помощью скобок. В тождествах (9.1) – (12.2) пра­вая часть проще левой, поэтому их можно использовать для упрощения сложных логических выражений.

Все тождества записаны парами на основании того, что по прин­ципу двойственности из одного тождества пары можно получить другое взаимной заменой операций дизъюнкции и конъюнкции, а также значений 0 и 1. Тождества (4.1) и (4.2) самодвойственны, так как они не изменяются по принципу двойственности.

Большую роль в теории переключательных функций играет опера­ция сумма по модулю два (исключающее ИЛИ, логическая неравнознач­ность), которая обозначается символом и определяется соотношением

Операция сумма по модулю два коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно операции конъюнкции.