Решение.
1)Находим область определения функции: 
=
).
2)Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения 
, а точками разрыва являются точки 
и 
, не принадлежащие множеству, но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точкахи , вычислив в них односторонние пределы функции:
, 
,
, 
.
Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.
3)Функция не является периодической.
Функция 
, в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является.
Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции =) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.
4)Находим точки пересечения графика с осями координат.
Так как 
, то точек пересечения графика с осью 
нет.
Положим 
и решим уравнение 
. Его решением является 
. Следовательно, точка 
- точка пересечения графика с осью 
.
5)Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
Прямая 
является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда 
является точкой бесконечного разрыва функции .
Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и .
Прямая 
является наклонной асимптотой графика функции при 
тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы:
и 
.
Вычисляем сначала пределы при 
: 
,
.
В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:
Следовательно 
, т.е. 
- наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .
Аналогично вычисляем пределы при 
: 
,
Следовательно 
, т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .
6)Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:
и определяем критические точки функции , т.е. точки 
в которых 
или 
не существует:
;
не существует при 
и 
.
Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка 
.
Исследуем знак производной 
в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
| 
| 
| 
|
| 
|
|
| + | + | 
| 
|
|
| возрастает | возрастает |
| убывает | убывает |
Так как при переходе слева направо через точкупроизводная 
меняет знак с «+» на «
», то точка является точкой локального максимума и 
.
7)Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:
и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которых
или
не существует:
, так как 
(квадратное уравнение не имеет действительных корней); 
не существует при и .
Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба.
Исследуем знак второй производной 
в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
|
|
| 
| 
|
|
| + | 
| + |
|
| график вогнутый | график выпуклый | график вогнутый |
Точек перегиба нет.
8)На основании полученных результатов строим график функции (рис.3)
