Образец решения контрольных задач типового варианта. 1.1 – 30.Вычислить определитель

Приложения.

Образец решения контрольных задач типового варианта.

1.1 – 30.Вычислить определитель:

а)непосредственным разложением по строке;

б)непосредственным разложением по столбцу;

Решение. а)вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: =.

Тогда ==

Б)вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: =.

Тогда ==.

Ответ: .

2.1-30. а)Найти матрицу,если:

, .

Решение:

Транспонируем матрицу: .

2)Вычисляем произведение матриц :

.

3)Находим матрицу :

.

4)Находим матрицу :

.

Ответ: .

3.1 – 30. Дана система уравнений: . Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

А) Метод Крамера.

1а)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

.

2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

3а) Вычисляем определители :

,

,

.

4а) Находим решение: .

5а) Выполняем проверку: .

Ответ: .

Б) Метод обратной матрицы.

1б)Записываем систему уравнений в матричном виде:

или

2б)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

3б) Так как , то матрица системы имеет обратную матрицу и единственное решение системы определяется формулой:

или

4б)Находим обратную матрицу (методом присоединённой матрицы):

.

Тогда .

5б)Находим решение:

.

6б) Выполняем проверку: .

Ответ: .

В) Метод Гаусса.

1в)Записываем расширенную матрицу системы:

.

2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами . Система уравнений, матрица которой является треугольной с элементами , имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой является трапециевидной с элементами , имеет бесконечно много решений.

.В результате элементарных преобразований матрица системы преобразована к специальному виду . Система уравнений, матрица которой , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами , имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.

Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

3в)Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных:.

4в) Выполняем проверку: .

Ответ: .

 

4.1-30.Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

А) .

Решение.

. 2а)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и .

3а)Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .

Тогда общее решение системы запишется в виде: .

4а) Выполняем проверку:

.

Ответ: .

Б) .

Решение.

. 2а)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

.

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные и .

3б)Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: .

Тогда общее решение системы запишется в виде:

4б) Выполняем проверку:

Ответ: .

В) .

Решение.

. 2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Решение.

1a).Находимвектор

=.

2а) Находимвектор

=.

3а)Вычисляем скалярное произведениевекторов :

.

б)Вычисляем векторное произведение векторов :

=

1в)Покажем, что векторы образуют базис.Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.

.

Так как , то векторы образуют базиси, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.

2в)Записываем разложение вектора по векторам базиса :

или .

Коэффициенты разложения , , называют координатами вектора в базисеи записывают: .

3в)Записываем векторное уравнение относительно ,,в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений:, и находим единственное решение системы, например, по формулам Крамера:

, где

,,,.

Таким образом: , , . Следовательно, разложение имеет вид: или кратко: .

Ответ:.

6.1-30.Даны вершины треугольника : , , Требуется найти:

а)длину стороны; б)уравнение стороны;

в)уравнение медианы , проведённой из вершины;

г)уравнение высоты , проведённой из вершины;

д)длину высоты; е)площадь треугольника.Сделать чертёж.

Решение.Сделаем чертёж:

 

а)Длинустороны находим как длину вектора :

,

.

б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой:

.

в)Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки находим как координаты точки, делящей сторону пополам:

; .

Тогда:

.

г)Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда

д)Длину высоты находим как расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением :

.

е)Площадь треугольника находим по формуле: . Откуда .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) .

 

7.1 – 30.Даны вершины пирамиды.Требуется найти:

а)длины ребери ; б)угол между ребрамии ;

в)площадь грани; г)объем пирамиды;

д)уравнение плоскости грани;

Е)длину высоты пирамиды.

Решение.

; ; ;

Г); д); е) .

8.1–30.Установить, какую кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:

а) ;б);

в).

Решение:

а)Выделяя полные квадраты в левой части уравнения ,преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).

Ответ:Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..

Рис.1

 

б)Выделяя полные квадраты в левой части

уравнения ,преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).

Ответ:Эллипс с центром в точке (см. рис.2).

в). Выделяя полные квадраты в левой части уравнения ,преобразуем его следующим образом:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси . Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси (рис.3).

Ответ:Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).

 

 

 

 

Рис.2. Рис.3.

9.1-30.Требуется:

а)найтиобласть определения функции ;

б)установить чётность (нечётность) функции.

Решение. а)Естественную область определения находим как множество всех значений аргумента функции, для которых формула имеет смысл: . Решив (на числовой прямой) систему неравенств , устанавливаем, что геометрическим образом множества является промежуток .

б)Находимсначала естественнуюобласть определения функции : . Решив (на числовой прямой) неравенство , устанавливаем, что геометрическим образом множества является объединение промежутков .

Так как область является симметричной относительно точки , то проверяем выполнение для всех условий: или , учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение .

Если область не симметрична относительно точки , то на этом множестве является функцией общего вида.

Для этого находим . Поскольку для всех , то функция является чётной.

Ответ: а) , ;

б)функция - чётная.

10.1-30.Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

а) б)в) г) д)

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В результате могут получиться неопределённости , , , которые раскрывают тождественными преобразованиями такими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы: , , (), , , , , .

Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

.

б)При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где - некоторое число, т.е. множитель . Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле , где . 2) В выражении множитель выделяют следующим способом:

.

В результате получим

.

в) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Выделим в числителе множители вида , где при и используем свойства пределов. Получим

Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида: ,, ,, где при , используя формулы тригонометрии: , , . После чего применяют свойства пределов, учитывая, что: , , , .

.

г)

Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела , где , , сначала выражениепредставляют в виде , где при . После чего используют свойства пределов, заменяя выражение его предельным значением и учитывая, что =.

 

При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Представим в виде , где при ,следующим способом:

=. Тогда учитывая, что ,, получим ==.

Ответ: а); б); в); г).

Для указанной функции требуется:а)выяснить при каких значениях параметра функциябудетнепрерывной; б)найтиточки разрыва функции и исследовать их характер.Построить график функции.

А) ; б) .

Решение.

Точка является точкой непрерывности функции тогда и только тогда, когда: . а)Поскольку функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции,… Определяем значение параметра из условия непрерывности функции в точке : . Вычисляя , , : , , , из условия…

Рис.1 Рис.2

12.1-30.Даны комплексные числа , , и алгебраическое уравнение . Требуется: а)вычислить, , ; б)представить комплексное число в тригонометрической форме, вычислить и результат представить в алгебраической форме; в)найти все корни алгебраического уравнения на множестве комплексных чисел.

Решение.

2а)Вычисляем . Сначала находим (учитываем, что ). Тогда 3а)Вычисляем :

Краткие теоретические сведения.

Квадратной матрицей порядканазывается квадратная таблица из чисел (, ): , состоящая из строк и столбцов. У квадратной матрицы различают главную… Определителем 1-ого порядка называется число . Определителем 2-ого порядка называется число

Система, матрица которой является треугольной с диагональными элементами , называется треугольной. Система, матрица которой является трапециевидной, называется трапециевидной.

Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел , обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.

Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение . Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:

1) перестановка уравнений;

2) перестановка местами слагаемых в каждом из уравнений системы;

3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

4)прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;

5) вычёркивание уравнения вида: .

Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.

Если число уравнений в системе совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы системы , то система имеет единственное решение, которое можно найти:

а) методом Крамера по формулам: , , где - определитель, получаемый из определителя матрицы системы заменой -ого столбца на столбец свободных членов;

б) методом обратной матрицы по формуле .

Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.

В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы , которую получают, приписывая справа к матрице системы столбец свободных членов . В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы должна быть приведена к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами . При этом, система уравнений, матрица которой , является треугольной с диагональными элементами , будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой , является трапециевидной с элементами , будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы , в преобразованной матрице появится строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы . Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентов при которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.

В результатеобратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения: , ,…, , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.

Тема 4. Векторная алгебра.

Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор или . Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается или . Углом между векторами и называется угол , , на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора на вектор называется число .

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторы и называются равными и пишут , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторы и называются противоположными и пишут , если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.

Суммой векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора и конец вектора , при условии, что конец вектора совпадает с началом вектора (правило треугольника). Произведением вектора на действительное число называется вектор :

1) коллинеарный вектору ; 2) имеющий длину ; 3) направленный одинаково с вектором , если , и противоположно, если .

Ортом вектора , называется вектор , имеющий единичную длину и направление вектора : .

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, базисом на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: и , и называются базисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис -называется правым, если кратчайший поворот от к совершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис -называется правым, если из конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.

Условием коллинеарности векторов и является равенство: , где - некоторое число. Условием компланарности векторов , и является равенство: , где - некоторые числа.

Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если - базис и , то всегда существует единственное разложение: , где числа - координаты вектора в базисе , при этом пишут . Если в зафиксирован ортонормированный базис и , то равносильны записи: и (в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).

Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:

;

.

Декартовой прямоугольной системой координатв пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базиса и обозначается . Прямые ,,, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Аналогично вводится система координат на плоскости: .

Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат =. Радиус-вектором точки называется вектор , который всегда единственным образом можно представить в виде: . Числа , являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями вектора на базисные орты и (на координатные оси и ). Координатами точки в системе координат называются координаты её радиус-вектора и пишут . В свою очередь, координаты точки полностью определяют её радиус-вектор . Всякий геометрический вектор в системе координат , всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде: .

Длина вектора , заданного координатами , определяется формулой: . Направляющими косинусами вектора называются числа: , , , при этом .

Координаты вектора, заданного точками и определяются по формуле: . Расстояние между точками и определяется как длина вектора и находится по формуле:

.

Координаты точки делящей отрезок пополам находятся по формулам: , , .

Скалярным произведениемвекторов и называется число . Скалярное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) где - число;

3) ; 4)

5) ; 6) , ,, , , . Для векторов и , заданных своими координатами , скалярное произведение вычисляется по формуле: .

Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами и по формуле: ; 2) для вычисления проекции вектора на вектор по формуле: ; 3) для вычисления длины вектора по формуле: ; 4) в качестве условия перпендикулярности векторов и : .

Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый условиями: 1);

2) и ; 3)- правая тройка векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) ,где - число;

3) ; 4) 5) ;

6) , , , , , .

Для векторов и , заданных своими координатами , векторное произведение вычисляется по формуле: .

Векторное произведение применяют: 1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и , как на сторонах, по формуле: ; 2) в качестве условия параллельности векторов и : .

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,и называется число .

Смешанное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) и-компланарны;

Где -объём параллелепипеда, построенного на векторах ,и .

Смешанное произведение применяют: 1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах ,и , как на рёбрах, по формуле: ;… Тема 5. Прямые линии и плоскости. Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором…

Рис.5 Рис 6

2)- уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы (рис. 8).

 

 

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).

3б)- уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .

 

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б

Тема 7. Множества. Числовые множества. Функция.

Под множествомпонимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы: . Пустое множество обозначают .

Множество называют подмножествоммножества , если все элементы множества принадлежат множеству и пишут . Множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множества и будут равны тогда и только тогда, когда и .

Множество называют универсальным(в рамках данной математической теории),если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств); 2) заданием правила определения принадлежности элемента универсального множества , данному множеству : .

Объединением множеств и называется множество

.

Пересечением множеств и называется множество

.

Разностью множеств и называется множество

.

Дополнениеммножества (до универсального множества ) называется множество .

Два множества и называются эквивалентными и пишут ~, если между элементами этих множеств может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел : ~. Пустое множество по определению относится к счётным.

Понятие мощности множества возникает при сравнении множеств по числу содержащихся в них элементов. Мощность множестваобозначают . Мощностью конечного множества является число его элементов.

Эквивалентные множества обладают равной мощностью. Множество называется несчётным, если его мощность больше мощности множества .

Действительным (вещественным) числом называется бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «». Действительные числа отождествляют с точками числовой прямой. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется неотрицательное число:

Множество называется числовым, если его элементами являются действительные числа.Числовыми промежутками называются множества чисел:,,,,,,,,.

Множество всех точек на числовой прямой, удовлетворяющих условию , где - сколь угодно малое число, называется -окрестностью (или просто окрестностью) точки и обозначается . Множество всех точек условием , где - сколь угодно большое число, называется -окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности и обозначается .

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу ставится в соответствие одно вполне определённое число , и пишут . Множество называется областью определения функции, - множеством (или областью) значенийфункции, - аргументом, - значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множество значений аргумента , для которого данная формула имеет смысл. Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество всех точек плоскости с координатами , .

Функция называется чётной на множестве , симметричном относительно точки , если для всех выполняется условие: и нечётной, если выполняется условие . В противном случае - функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.

Функция называется периодическойна множестве , если существует число (период функции), такое, что для всех выполняется условие: . Наименьшее число называется основным периодом.

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции .

Функция называется ограниченной на множестве , если существует число , такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае функция - неограниченная.

Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множестве и каждому

ставит в соответствие такое , что . Для нахождения функции , обратной к функции , нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция , представляемая в виде , где , - некоторые функции такие, что область определения функции содержит всё множество значений функции , называется сложной функцией независимого аргумента . Переменную называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию называют также композицией функций и , и пишут: .

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция , показательная функция (, ), логарифмическая функция (, ), тригонометрические функции , , , , обратные тригонометрические функции , , , . Элементарнойназывается функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций.

Если задан график функции , , то построение графика функции сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика :

1)преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 2) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 3) преобразование сдвигает график по оси на единиц (- вправо, - влево); 4) преобразование сдвигает график по оси на единиц (- вверх, - вниз); 5) преобразование график вдоль оси растягивает в раз, если или сжимает враз, если ; 6) преобразование график вдоль оси сжимает в раз, если или растягивает враз, если .

Последовательность преобразований при построении графика функции можно представить символически в виде:

.

Примечание. При выполнении преобразования следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль оси определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу , а не к аргументу .

Графиком функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Графиком дробно-линейной функции является гипербола с центром в точке , асимптоты которой проходят через центр, параллельно осям координат.

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция , следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на которых выражение под знаком модуля не меняет знак.

График функции можно построить, предварительно построив графики функций и , а затем сложив их ординаты при одинаковых значениях .

Тема 8. Предел функции. Эквивалентные функции.

Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при , и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Рассматривают также односторонние пределы функций: , , , , где стремится к , , или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем - или число или символ ):

1) Если - постоянная величина, то .

2) Если существуют конечные пределы , , то:

а) ; б) ;

в) ; г) , если .

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точки из её области определения справедливо соотношение .

Функция называется бесконечно большой при , если . Функция называется бесконечно малой при , если .

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если, то,если, то

2) Если и , то .

3) Если и , то .

4) Если и , то .

5) Если и , то .

6) Если и , то .

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:

, ,

Вторым замечательным пределом называются пределы:

,

где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции , где и .

При нахождении пределов следует иметь в виду:

1) Если , , то .

2) Если ,, то вычисляют, учитывая, что: , .

Бесконечно малые функции и при называются эквивалентными, и пишут ~, если .

Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведения одну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если ~, ~при , то:

;

 

Основные эквивалентности при
~	~	~	~
~	~	~	~
~	~	~

 

Тема 9. Непрерывность функции.

Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки (левой полуокрестности, правой полуокрестности) и (, ), то функция называется непрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.

Если в точке , то называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

1) Если , то называется точкой устранимого разрыва функции .

Если в точке функция имеет конечные односторонние пределы и , но они не равны друг другу, то называется точкой разрыва 1-ого рода.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке - непрерывна справа, в точке - непрерывна слева).… Тема 10. Комплексные числа и многочлены. Комплексным числом называется число вида , где ,-действительные числа, символ - мнимая единица, для которой . Число -…

Приложения.

Образец решения контрольных задач типового варианта.

Семестр 2.

а) ; б) ; в) Нахождение производной функции заданной явно, с помощью правил… (), , , , , , , сводят к нахождению табличных производных.

Решение.

а), где

=;

Тогда.

б) ,где

.

.

Тогда

.

в)

.

Ответ: а)б) .

в)

2.1-30. Найти а) производную функции , заданной параметрически; б) производную функции , заданной неявно.

а)Производную функции , заданной параметрическими уравнениями находим по формуле, где

;

.

Тогда .

б) Уравнение неявно определяет функцию .Дифференцируя его по x, получим: .

Выразим

;

.

Ответ: а) б) .

3.1-30.Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

А); б) ; в) .

Вычисление предела, где , всегда начинают с подстановки в предельного значения её аргумента . Если в результате получают неопределённость или , то для её раскрытия применяют правило Лопиталя: , где и- функции, дифференцируемые в окрестности . В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение, тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов. Раскрытие неопределённостей вида: , , , , путём преобразований: ,,сводят к раскрытию неопределенностей вида или .

Решение.

а) , где

,

Тогда .

б) , где

,

.

Тогда . Применяем правило Лопиталя ещё раз:, где

,

=.

Тогда .

в) . Преобразуем данную неопределённость (приведением разности дробей к общему знаменателю) к виду , после чего применим правило Лопиталя. Получим

=, где

,

.

Тогда .

Применяем правило Лопиталя ещё раз:

, где ,

.

В итоге получим .

Ответ:

а); б);в).

 

4.1-30. Для указанной функции требуется провести полное исследование функции и построить её график:

;

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Решение.

2)Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и ,… , , , .

Рис.3.

Ответ: Рис.3.

5.1-30. Для указанной функции требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке :

, .

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.

1)Находим первую производную функции:

и определяем внутренние критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует:

, точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной внутренней критической (стационарной) точкой функции на отрезке является точка .

2)Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : , , .

3)Сравниваем значения , , и находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке :

, .

Ответ:,

6.1 – 30.Для указанной функции требуется:а)найти полный дифференциал; б)вторую частную (смешанную) производную ; если .

Полный дифференциал функции имеет вид .

Частные производные функции вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что если производная берётся по аргументу (аргументу ), то другой аргумент (аргумент ) считается постоянным.

Решение.

а) Находим частные производные первого порядка и функции

:

;

.

Тогда полный дифференциал функции имеет вид:

.

б) Вторую частную производную (или кратко ) находим как первую частную производную по аргументу от функции :

.

Ответ: а),б) ;

7.1 – 30.Для функции, заданной неявно, найти частные производные и .

Для функции , заданной уравнениемсправедливы формулы:,, при условии.

В данном примере . Найдем частные производные функции :

;

;

;

Тогда, учитывая что ,, получим:

;

Ответ: а) ,б) .

8.1 – 30. Найти локальные экстремумы функции

.

Для нахождения локальных экстремумов дифференцируемой функции необходимо: 1) Найти область определения функции. 2)Найти первые частные производные и функции. 3) Решить систему уравнений (необходимое условие экстремума) и найти точки (с учётом возможных дополнительных ограничений на значения аргументов и ) возможного локального экстремума функции. 4) Найти вторые частные производные , , ; составить выражение и вычислить значения и в каждой точке возможного экстремума. 5) Сделать вывод о наличии экстремумов функции , используя достаточное условие экстремума: если , то в точке экстремума нет; если и , то в точке - локальный минимум; если и , то в точке - локальный максимум; если , то требуется дополнительное исследование точки (например, по определению). 6)Найти локальные экстремумы (экстремальные значения) функции.

Решение.

2)Находим первые частные производные и : ;

Ответ: .

Найти условные экстремумы функции приусловии .

Решение.

2)Составляем функцию Лагранжа: . 3) Записываем необходимое условие условного экстремума , где: ,

Решение.

а) Найти градиент функции в точке P(1,1,1). В данном случае . Найдем частные производные функциии вычислим их значения в точке: ;

Решение.

Запишем уравнение поверхности в виде, т.е. . Подставим значения частных производных функции , найденные в п.а) в уравнения касательной:

;

-уравнение нормали:

.

Ответ: а) Уравнение касательной плоскости:;

уравнение нормали: .

Краткие теоретические сведения.

Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента называется выражение . Производной 1-ого порядка функции в точке называется конечный предел .… Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием…

Основные правила дифференцирования элементарных функций.

2.Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и имеет производную: или кратко .. Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е. .

Тема 4. Основные понятия о функции нескольких переменных.

Всякий упорядоченный набор из действительных чисел называется точкой -мерного арифметического (координатного) пространстваи обозначается или , при этом числа называются её координатами.

Пространство называется евклидовым, если расстояние между любыми двумя его точками и определяется формулой .

Пусть и - некоторые множества точек и . Если каждой точке ставится в соответствие по некоторому правилу одно вполне определённое действительное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция от переменных и пишут или кратко и , при этом называется областью определения, - множеством значений, - аргументами(независимыми переменными) функции.

Функцию двух переменных часто обозначают , функцию трёх переменных - . Область определения функции представляет собой некоторое множество точек плоскости, функции - некоторое множество точек пространства.

Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множество точек , для координат которых формула имеет смысл.

Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество точек пространства с координатами , , представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в .

Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Для функции пишут . Вычисление предела функции нескольких переменных часто сводят к вычислению предела функции одной переменной с помощью замены переменных.

Функция называется непрерывной в точке , если . Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если в точке нарушено хотя бы одно из следующих условий: 1) функция определена в точке ; 2) существует конечный предел ; 3) , то называется точкой разрыва функции . Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва.

Тема 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.

5.1 Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ().

Производные () называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, , , , , ,… или ,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

Полным приращением функции в точке, соответствующим приращениям аргументов называется разность .

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде , где при , - числа, не зависящие от .

Полным дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть полного приращения функции, равная , где .

Функция, обладающая в точке непрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал . Для функции дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.

Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива символическая формула , формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функции справедливы формулы: , ,

а для функции - формулы: ,

.

Для функции -кратная дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала -ого порядка .

Если функция раз дифференцируема в точке , то в этой точке значение любой смешанной частной производной -ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.

Если функция дифференцируема раз в точке , то при имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано

,

где при . Частный случай формулы Тейлора в точке называется формулой Маклорена.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

,

а уравнение нормали– вид .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:.

В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной : , то производная сложной функции вычисляется по формуле . Если совпадает с одним из аргументов, например , то производная , называемая «полной» производной функции по , вычисляется по формуле

.

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных : ,…,, то частные производные сложной функции вычисляются по формулам:

,

.

В частности, для функции справедливы формулы:

, где ;

, где ;

, , где , .

5.2 Элементы теории поля. Производная по направлению и градиент.

Пусть - область в двумерном пространстве. Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Линии , где называются линиями уровня скалярного поля .

Пусть - область в трёхмерном пространстве.

Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Поверхности , где называются поверхностями уровня скалярного поля .

Градиентом скалярного поля называется вектор

.

Производная скалярного поля по направлению произвольного вектора вычисляется по формуле , где , , - направляющие косинусы вектора .

Градиент скалярного поля в точке направлен по нормали к поверхности уровня , проходящей через в сторону возрастания поля, а его модуль равен наибольшей производной по направлению в этой точке.

Неявные функции.

В частности, для функции , заданной неявно уравнением справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением справедливы формулы:,, при условии. Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

Таблица производных и дифференциалов основных элементарных функций.

№ п/п