Решение.
1)Находим область определения функции 
.
2)Составляем функцию Лагранжа: 
.
3) Записываем необходимое условие условного экстремума 
,
где: 
,
. Получим 
. Решая систему, находим две точки возможного условного экстремума функции 
вобласти 
и соответствующие им значения множителя Лагранжа 
: 
при 
и 
при 
.
4)Находим выражение второго дифференциала функции Лагранжа
.
Вычисляем 
при условии 
, учитывая, что:
;
.
Получим:
;
.
5)Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как для всех 
: 
, то в точке 
- условный локальный минимум;
, то в точке - условный локальный максимум.
6)Находим условные минимум и максимум функции 
при условии 
:
, 
Ответ: 
,
при условии .
10.1–30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
в области D:
Функция , дифференцируемая в ограниченной замкнутой области 
, достигает своего наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках 
, или в точках границы 
области 
. Для их нахождения необходимо: 1) Найти все стационарные точки функции и вычислить в них значения функции 
. 2) Найти наибольшее 
и наименьшее 
значения функции на границе , задаваемой одним аналитическим выражением в явном виде 
или 
. Если 
, где 
задаются одним аналитическим выражением в явном виде, то находят наибольшие и наименьшие значения 
и 
функции на каждом из участков границы. 3) Сравнить значения функции , , и выбрать из них наибольшее 
и наименьшее 
значения функции в области .
Решение.Изображаемобласть (она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми 
,
,
), находим стационарные точки функции 
, решаясистему уравнений
, и вычисляем в них значения функции .
Учитывая, что: 
, 
, получим 
. Отсюда 
, 
и, следовательно, единственной стационарной точкой функции в области 
является точка 
.
Вычислив значение функции в этой точке, получим 
.
2) Границу области представляем в виде 
, где 
:,
; 
:
,
; 
:,и находим наибольшие и наименьшие значения функции на каждом из участков границы: 
,
, 
,
, 
, 
.
На участке :,: 
. Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной 
на отрезке 
. Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу 
или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции: 
и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки 
в которых 
или 
не существует: 
, точек в которых 
не существует нет. Вычисляем значения функции 
во внутренних критических точках (таких точек нет) и на концах отрезка : 
, 
. Сравнивая значения 
, 
находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : 
, 
.
На участке:,: 
. Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной 
на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции: 
и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки 
в которых 
или 
не существует: 
, точек в которых 
не существует нет. Вычисляем значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка : 
, 
, 
. Сравнивая значения 
, 
, 
находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : 
, 
.
На участке :,: 
. Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной 
на отрезке . Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции: 
и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки в которых 
или 
не существует: 
, точек в которых 
не существует нет. Вычисляем значения функции 
во внутренних критических точках и на концах отрезка : 
, 
, 
. Сравнивая значения 
,
,
находим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : 
,
3)Сравнивая значения функции 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, делаем вывод, что 
, 
.
Ответ:, .
11.1 – 30. Найти: а) координаты градиента функции
в точке 
; б) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнениемв точке .