Методические указания

Цель работы - использование контурных токов в комплексной форме для расчета несимметричных трехфазных цепей, которые широко применяются в различных электроэнергетических сетях и системах.

Несимметричную трехфазную цепь со статическими нагрузками можно рассматривать как сложную цепь с несколькими источниками ЭДС и рассчитать, используя общие методы расчета электрических цепей в комплексной форме. Расчет целесообразно выполнять по методу контурных токов, так как при этом не требуется преобразование схемы.

По заданной схеме необходимо построить граф и пронумеровать его ветви, которым вместе с источниками присвоить либо первые, либо последние номера. На графе выделить ветви дерева и указать узлы (точки) А, В, С, а также О,О₁.

Далее необходимо задать одинаковое направление ветвей с источниками ЭДС относительно общей точки источников О. Для ветвей с пассивными элементами — комплексными сопротивлениями Z_K — целесообразно указать «естественные» направления напряжений (токов) от точек A, В, С к общей точке приемников O₁. Некоторые ветви с сопротивлениями Z_K могут быть включены на линейные напряжения .

 

Для расчета необходимо составить матрицы Матрица В составляется по тем же правилам, что и для цепей постоянного тока.

Матрица - диагональная и каждый ее ненулевой элемент - это комплексное сопротивление . Значения этих сопротивлений заданы в таблице.

Для расчета на ЭВМ матрица записывается в виде

где индекс «в» - номер последней ветви.

Если ветвям с источниками присвоены первые номера 1,2,3, то первые три элемента в матрице - нулевые.

Столбцовая матрица записывается в следующем виде (с учетом того, что ветвям с источниками ЭДС присвоены первые номера):

,

где -заданное фазное напряжение, знак «.'» означает транспонирование (не следует путать со знаком «'», который переводит комплексные числа в им сопряженные). Первый элемент матрицы соответствует ЭДС фазы А, второй элемент - ЭДС фазы В,

отстающей от ЭДС фазы А на угол , третий элемент -ЭДС фазы

С, опережающей ЭДС фазы А на угол .

В данных схемах нет источников тока, поэтому столбцовая матрица имеет только нулевые элементы и кратко записывается следующим образом:

= zeros(7,1).

Для расчета схемы на ЭВМ необходимо применить программный комплекс MATLAB и в нем использовать сценарий «серуе», разработанный на кафедре электротехники и электроэнергетики ВлГУ.

Необходимо ввести четыре указанные матрицы в ЭВМ, провести расчет токов, напряжений и мощностей, сделать распечатку результатов расчетов и по этой распечатке построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

 

Векторная диаграмма токов - это геометрическое представление первого закона Кирхгофа в комплексной форме для любого узла схемы:

, где k - количество ветвей, присоединенных к данному узлу схемы.

 

Топографическая диаграмма напряжений — это геометрическое представление второго закона Кирхгофа для любого замкнутого контура схемы:

 

где n - количество ветвей с активными и пассивным» элементами в данном замкнутом контуре.

 

Рассмотрим пример подобного расчета. Дана схема несимметричной трехфазной цепи с источниками фазных ЭДС, которые на комплексной плоскости образуют симметричную трёхлучевую звезду (рис. 4).

Этой схеме соответствует следующий граф (рис. 5).

 

Используем программу MATLAB, сценарий 'серуе':

» серуе

Топологическая матрица В

ТМ=[1 -1 0 1 0 0 0 0 0; 0-11 0 0-1 1 1 0; 0 0 0-1 1 -1 0 0 0; 0 0 0 0-1 0 1 1 1]

сопротивления ветвей

PV=diag([0 0 0 40-60i 60-70i 0 50-70i 55+75i 45+65i])

ЭДС ветвей

SV=660*[1 exp(-2*i*pi/3) exp(2*i*pi/3) 0 0 0 0 0 0].'

источники тока ветвей

CV=zeros(9,1)

Матрица контурных сопротивлений РМ=

1.0е+002 *

0.4000 - 0.6000i 0 -0.4000 + 0.6000i 0

0 1.0500 + 0.0500i 0 1.0500 + 0.0500i

-0.4000 + 0.6000i 0 1.0000 - 1.3000i -0.6000 + 0.7000i

0 1.0500 + 0.0500i -0.6000 + 0.7000i 2.1000

 

Матрица контурных ЭДС АМ=

1.0е+003 *

0.9900 + 0.5716i

0 + 1.1432i

 

Матрица контурных токов Х=

4.4850+13.5961i

-0.6663+25.2739i

3.4647-2.2238i

1.1836-14.4114i

Токи ветвей XS=

4.4850+13.5961i

-3.8187-39.8700i

-0.6663+25.2739i

1.0203+15.8198i

2.2811+12.1876i

-2.7984-23.0501i

0.5173+10.8625i

0.5173+10.8625i

1.1836-14.4114i

Напряжения ветвей XC=

1.0e+002*

-6.6000

3.300+5.7158i

3.300-5.7158i

9.9000 + 5.7158i

9.9000 + 5.7158i

0

7.8624 + 5.0692i

-7.8624 + 6.3623i

9.9000 - 5.7158i

Токи пассивных участков ветвей XSP=

4.4850 +13.5961i

-3.8187-38.8700i

-0.6663 +25.2739i

1.0203 +15.8198i

2.2811 +12.1876i

-2.7984 -23.0501i

0.5173 +10.8625i

0.5173 +10.8625i

1.1836-14.4114i

 

Напряжения пассивных участков ветвей XCP=

1.0е+002 *

0

0

0

9.9000 + 5.7158i

9.9000 + 5.7158i

0

7.8624 + 5.0692i

-7.8624 + 6.3623i

9.9000 - 5.7158i

Мощности ветвей S=

1.0e+004*

-0.2960+0.8973i

-2.3477+1.0644i

-1.4666-0.7960i

1.0052-1.5078i

0.9224-1.0762i

0

0.5913-0.8278i

0.6504+0.8870i

0.9409+1.3591i

Мощности пассивных участков ветвей SPU=

1.0e+004*

0

0

0

1.0052-1.5078i

0.9224-1.0762i

0

0.5913-0.8278i

0.6504+0.8870i

0.9409+1.3591i

Мощности источников ветвей SI=

1.0e+0.004*

0.2960-0.8973i

2.3477-1.0644i

1.4666+0.7960i

0

0

0

0

0

0

>>sum([SPU SI])

Ans=

1.0e+004*

4.1103-1.1658i 4.1103-1.1658i

Уравнение баланса комплексных мощностей имеет вид

Как видно из результатов расчета, это условие выполняется точно. Суммарная активная мощность источников и приемников составила 41103Вт, а реактивная 11658 Вар.

 

 

Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений, используя два пункта из расчета в MATLAB: напряжения ветвей и токи ветвей.

В программном комплексе MatLab существует специальный сценарий для построения векторных диаграмм - vdiagrl. Оператор вводится по следующему правилу: vdiagrl (n,а) для каждого узла, где n - номер фигуры, которая соответствует полной топографической диаграмме напряжений (n = 1) или векторной диаграмме токов (n = 2); а - массив комплексных чисел: первое значение - от какой точки на комплексной плоскости начинать диаграмму; остальные значения - откладываемые комплексные числа; каждый последующий отрезок откладывается от конца предыдущего.

Построим топографическую диаграмму напряжений (рис. 6) по закону Кирхгофа для напряжений, введя следующие команды после завершения основного расчета в MATLAB:

» vdiagrl(1,[0 ХС(1) ХС(4) -X(X2)],^’linewidth’,2,^’edgecolor’,’flat’) - контур I

» vdiagrl(l,[0 ХС(3) ХС(7) ХС(8) -ХС(6) -XC(2)],’linewidth’,2,’edgecolor^’,’flat’) - контур II

» vdiagrl(1,[ХС(1) ХС(5) -ХС(6) -XC(4)],’linewidth^’,2,^’edgecolor’,^’flat’) - контур III

» vdiagrl (1,[ХС(1) ХС(9) ХС(7) ХС(8) –XC(5)],’linewidth’,2,’edgecolor’,’flat’) - контур IV

Команду vdiagrl(l,a) необходимо ввести (в - у + 1) раз; в - число ветвей схемы, у - число узлов схемы.

Для того чтобы построить векторную диаграмму токов (рис. 7), необходимо ввести следующую последовательность команд в соответствии с законом Кирхгофа для токов:

» vdiagrl(2,[0 -XS(1) XS(4) XS(5) XS(9)],^’linewidth’,2,’edgecolor^’,^’flat’) -узел A

» vdiagrl(2,[0 - XS(2) - XS(4) XS(6)],’linewidth^’,2,^’edgecolor^’,^’flat’) -узел В

» vdiagrl (2,[0 XS(1) XS(2) XS(3)],’linewidth^’,2,^’edgecolor’,^’flat’) -узел О

» vdiagrl (2,[0 -XS(5) -XS(6) -XS(8)],^’linewidth^’,2,^’edgecoIor^’,^’flat’) - узел

 

Команду vdiagrl(2,a) необходимо ввести (у - 1) раз. Учтём, что = позволяет нам не записывать команду для узла D.

 

 

 

Библиографический список

1. Теоретические основы электротехники. В 2 т. Т. 1 / под ред. П. А. Ионкина. - М.: Высш. шк., 1978. - 592 с.

2. Атабеков, Г. И. Теоретические основы электротехники. В 3 ч. 4.1. Линейные электрические цепи / Г. И. Атабеков. - М. : Энергия, 1978. - 592 с.

3. Теоретические основы электротехники. В 3 т. Т. 1 / К. С. Демирчян [и др.]. - СПб.: Питер, 2006. - 464 с.

 

Оглавление

Введение........................................................................... 3

1. Задание по расчету....................................................... 5

2. Методические указания............................................... 8

Библиографический список.......................................... 16

 

 

РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Методические указания к выполнению расчетно-графичсской работы по теоретическим основам электротехники

Составитель СБИТНЕВ Станислав Александрович

Подписано в печать 21.04.11. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ Издательство Владимирского государственного университета. 600000, Владимир, ул. Горького, 87