Розглянемо систему рівнянь Лотки-Вольтера, що описує конкурентну боротьбу за обмежений ресурс, наступною динамічною системою:
,
Для представленої системи визначити точки рівноваги, тип стану рівноваги, використовуючи характеристичні рівняння, та розрахунок характеристичних коренів. Побудувати фазовий портрет системи.
Розглянемо автономну систему другого порядку виду
Нехай M (x0, y0) – стан рівноваги. Це означає, що .
Позначимо
, .
Стан рівноваги, для якого D ¹ 0 зветься простим.
Розглянемо наступні прості стани рівноваги:
Для стану рівноваги може бути складене характеристичне рівняння
. (1)
Нехай l1, l2 – корінь характеристичного рівняння.
Стан рівноваги класифікується залежно від того, чи є коріння дійсними або комплексними числами, їх парності й знака.
1) Вузли
Якщо l1, l2 – дійсні числа однакових знаків, тобто l1l2 > 0 або , то стан рівноваги зветься вузлом.
А. Невироджений вузол: l1 ¹ l2:
а) стійкий, якщо s < 0 (рис. 1.а);
б) нестійкий, якщо s > 0 (рис. 1.б).
а) б)