Исследование функций с помощью ЭВМ. История алгебры насчитывает не одну тысячу лет, и все открытия и достижения в этой области человеческого знания были получены только с помощью тяжелого умственного труда, не в последнюю очередь связанного с огромным объемом вычислений, которые приходилось производить, часто неоднократно, для получения желаемых результатов.
Многим известным математикам, от древности и вплоть до нашего века, приходилось содержать целый штат вычислителей, которые выполняли огромный объем второстепенных вычислений, давая возможность ученому заниматься непосредственно развитием математической науки. С развитием математических представлений об окружающем мире многие расчеты и вычисления многократно усложнились, так что целые коллективы вычислителей тратили иногда не один месяц на выполнение каких- либо расчетов. К тому же с усложнением вычислений неизбежно увеличивалось количество непроизвольно допущенных ошибок.
Счастливым выходом из создавшегося положения явилось изобретение в 1943 г. первой электронно-вычислительной машины. Существовавшие до этого механические вычислители, которые могли выполнять только четыре арифметические операции, не шли ни в какое сравнение с этой, пусть еще не совершенной, вычислительной техникой. Сразу же после прохождения лабораторных испытаний электронно-вычислительные машины ЭВМ, были применены для научных расчетов в квантовой и ядерной физике.
В дальнейшем, по мере развития электроники, каждый научно-исследовательский институт обзаводился собственной ЭВМ. Уже в самом начале своего применения они обеспечивали неслыханную по тем временам скорость вычислений несколько тысяч операций в секунду. Это позволило многократно увеличить скорость и точность математических вычислений и подняло труд ученых на качественно новый уровень. Современные ЭВМ оставили далеко позади те первые, построенные на реле и лампах, машины в миллион раз производительнее, они позволяют выполнять невероятно сложные расчеты в фантастически короткие сроки то, над чем сотни вычислителей работали бы несколько месяцев, эти машины способны вычислить за несколько минут.
Учитывая вышесказанное, необыкновенно логичным кажется применение компьютеров для исследования свойств функций. Что и было сделано несколько десятилетий назад. Естественно, для успешного исследования свойств функций потребовался мощный математический аппарат.
Наиболее успешным оказался перенос на компьютерную основу методов Лагранжа, Ньютона, Котеса, Симпсона и многих других. За считанные годы компьютер научили строить графики функций, дифференцировать и интегрировать сами функции, кроме этого интерполировать и экстраполировать функции, решать линейные и дифференциальные уравнения и их системы, находить приближающие функции и множество других, не менее важных вещей. Взять к примеру интерполяционный многочлен Лагранжа.
Очень часто на практике имеется какая-либо функциональная последовательность не выраженная в аналитической форме, либо вообще выраженная только графиком или набором пар значений. А требуется получить аналитическое выражение описывающее данный график или таблицу. Имея несколько пар значений функции узлов интерполирования, задача найти интерполирующую функцию представляется длительной и трудоемкой, имея же несколько сотен таких узлов практически невыполнимой. Компьютер же справляется с этой задачей за считанные секунды.
Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу х х0 х1 хn f х у0 у1 уn При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок х0 хn, но не совпадает ни с одним из значений х i i 0, 1, n. Очевидный прием решения этой задачи вычислить значение f х, воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое выражение f пригодно для вычислений.
Более того, как уже упоминалось выше, часто аналитическое выражение функции f вовсе не известно. В этих случаях как раз и применяется построение по исходной таблице приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что f x F x. 1 Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f x и F x в точках хi i 0, 1, 2, n, т.е. F x0 y0, F x1 y1, F xn yn. 2 Будем искать интерполирующую функцию F x в виде многочлена степени n Pn x a0xn a1xn-1 an-1x an. 3 Этот многочлен имеет n1 коэффициент.
Естественно предполагать, что n1 условия 2, наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для Pn x выполнения условий 2, получаем систему n1 уравнений с n1 неизвестными n ak xi n - k yi i 0, 1, n. 4 k0 Решая эту систему относительно неизвестных а1, а2, аn, мы и получим аналитическое выражение полинома 3. Система 4 всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, известный как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен Pnx для функции f, заданной таблично, существует и единственен.
Чтобы написать программу, реализующую этот алгоритм, необходимо затратить от нескольких часов до нескольких дней. А потом, она поможет сэкономить многие и многие месяцы, ушедшие бы на выполнения однотипных арифметических операций для вычисления интерполяционных полиномов.