Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ

Ставропольский Государственный Университет КУРСОВАЯ РАБОТА по теме ДИАЛЕКТИКА РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ И ИССЛЕДОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ работу выполнил студент Ставропольского Государственного Университета IV курса, Физ-Мат Факультета, отделения МИИТ, гр. Б Неботов Виталий Дмитриевич Ставрополь 1996-1997 гг. СОДЕРЖАНИЕ Стр. 1. Краткий обзор развития понятия числа 2. Определение функции 3. Общее определение функции в XIX в. Дальнейшее развитие понятия функции 4. Изучение функций в школе 5. Исследование функций с помощью ЭВМ 6. Заключение 17 7. Список использованной литературы 19 КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и тому подобного.

В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах.

Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда. С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия больше, меньше, столько же или равно. Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа.

Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека. С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Ее возникновению и развитию способствовали практические потребности строительство разнообразных сооружений, торговля и мореходство. Долгое время в арифметике имели дело с числами относительно небольшими.

Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была мириада 10 000. Еще в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда-то Архимед в своем трактате Исчисление песчинок Псаммит разработал систему, которая позволяла выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен. Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному.

Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день. В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через 2. Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа.

Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых. Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры. Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.

Таким образом, понятие числа прошло длинный путь развития сначала целые числа, затем дробные, рациональные положительные и отрицательные и, наконец, действительные. Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встретились с числом, которое выражалось 1 . Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавались за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель 1745-1818 нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые мнимые числа получили свое место в множестве комплексных чисел.

Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции.

Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Те вавилонские ученые, которые 45 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S3r2 грубо приближенную, тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса.

Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции. Другим примером могут служить тригонометрические таблицы, составление которых началось задолго до начала нашей эры. Особый интерес представляют таблицы синусов Беруни, в которых дано правило линейного интерполирования. В современной символике его можно выразить так sin x sin x0 x x0sin x0 15 sin x15 Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

В Геометрии Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями ординаты точек кривых функции от абсцисс х путь и скорость функции от времени t и тому подобное. Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей Геометрии лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических.

Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения формулы. Слово функция от латинского functio совершение, выполнение Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли величина, выполняющая ту или иную функцию.

Как термин в нашем смысле выражение функция от х стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины переменная и константа постоянная. Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак х, называя характеристикой функции, а также буквы х или Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1x, f2x. Эйлер обозначал через f y, f x y то, что мы ныне обозначаем через f x, f x y. Наряду с Эйлер предлагает пользоваться и буквами, и прочими.

Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие он пишет, например, t, t s. Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных. Леонард Эйлер во Введении в анализ бесконечных 1748 примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств.

Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки.

В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную свободным влечением руки. В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий кривая или формула следует считать более широким.

Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны. В Дифференциальном исчислении, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общее определение функции Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых. Это наименование, продолжает далее Эйлер, имеет чрезвычайно широкий характер оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других.

На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению, опубликованном в 1797 г смог записать следующее Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому. Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением.

Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Общее определение функции в XIX в. Дальнейшее развитие понятия функции

Дальнейшее развитие понятия функции. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский ма... Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числ... При любом геометрическом преобразовании отображении мы имеем дело с фу... Шилов и другие.

Изучение функций в школе

Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных Пер... На рисунке 2 изображен график температуры воздуха в течении суток. Эта зависимость показана в таблице буквой n обозначен номер зоны, а бу... Значения зависимой переменной называют значениями функции. При этом используют запись у f х.

Исследование функций с помощью ЭВМ

Существовавшие до этого механические вычислители, которые могли выполн... Что и было сделано несколько десятилетий назад. Имея несколько пар значений функции узлов интерполирования, задача най... Этот прием однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое ... Система 4 всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, ...

Заключение

Заключение Область применения электронно-вычислительных машин в наше время необычайно широка, и продолжает расширяться. Она не ограничивается только лишь исследованием функций или математических объектов произвольной природы вообще. Сфера применения компьютерной техники в науке гораздо шире и начинает охватывать те области знания, к которых раньше даже и не мыслилась. Процесс этот необратим, и скоро компьютер станет главным, но далеко не единственным инструментом ученого в его научной работе.

Однако, не верно было бы думать, что с возрастанием роли компьютеров в научном познании роль человека будет неуклонно снижаться до уровня обслуживающего персонала. Человек всегда был и будет ведущим в связке человек-компьютер. Научный поиск процесс творческий, а компьютеры этого не умеют, и научаться еще очень не скоро.

Список использованной литературы

Список использованной литературы 1. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Москва, Наука, 1974 г. 2. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г. 3. К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987 г. 4. Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение, 1979 г. 5. Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы, Москва, Просвещение, 1983 г. 6. Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников, Москва, Наука, 1983 г. 7. Ю. С. Богданов, Н. В. Пыжкова, Л. П. Черенкова, Начала анализа функций двух переменных в наглядном изложении, Минск, Вышэйшая школа, 1987 г. 8. С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных функций, Москва, Наука, 1966 г. 9. О. Г. Омельяновский, Диалектика в науках о неживой природе, Москва, Мысль, 1964 г.