Повышение уровня обобщнности изучаемых знаний. В настоящее время школьный курс математики далеко отстат от математики как науки по уровню обобщнности знаний.
Если в современной математике уровень обобщнности очень высок, то в школьном курсе математики он пока ещ весьма низок. Его повышение в разумных пределах приведт к повышению информационной ценности изучаемых знаний, и также к резкому сокращению времени на их усвоение. Следует особо отметить, что только на этом пути можно избавиться от пресловутой перегрузки учащихся, ибо общими понятиями современный школьный курс математики, не только не перегружен, но явно не догружен. Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математике является острой, ещ не разрешнной проблемой методики математики.
Анализ характера умственной деятельности учеников на различных уроках, в разных классах показал, что лишь 15 20 учебного времени тратится на самостоятельную работу, чем старше класс, тем самостоятельных работ меньше. Создатся ненормальное положение с возрастом учащиеся, конечно, становятся более способными к самостоятельной работе, а им предоставляют для этого вс меньше времени.
Если в числе тренировочных упражнений преобладают однотипные, при решении которых ученик ограничивается лишь получением ответа и сверкой его с готовым ответом, то такие упражнения не направляют усилия ученика на разрешение иных нешаблонных заданий, с чем ему придтся встречаться в жизни. Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и закрепились в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом.
Не случайно Леонид Эйлер полагал, что кроме описания результатов своих исследований, обогативших науку, ему надобно для общей пользы чистосердечно изложить ещ и процесс искания истины со всеми его исканиями и затруднениями. Действующие учебники математики мало, чем могут помочь развитию творческих начал в них по меткому выражению профессора Б.В Гнеденко, спрятаны все концы, дана уже готовая схема, знания представлены в статистическом состоянии, в завершнных формах.
Под обобщением будем понимать распространение, какого либо суждения от частого понятия к общему например, от четырхугольника до трапеции, ромба. Суждения полученные по аналогии, будут проблематическими и подлежат дальнейшему исследованию и доказательству. Умозаключения по аналогии являются непременной составной частью творческого мышления, так как этим путм мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному.
Умственное развитие учащихся, которые должны подготавливаться уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в школе специально применению прима аналогии. Простое применение аналогии дат упражнение подобное, однопорядковое с исходным. От него следует отличать составление задачи обобщением, когда новая задача оказывается в том или ином отношении сложнее исходной.
Процесс обобщения основывается на применении аналогии, но не сводится полностью к ней. Применение обобщения связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием оно есть одно из самых важных средств самообучения, то есть, самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний. Для достижения глубокого усвоения нового понятия, способа решения нельзя обходиться задачами одного уровня трудности, а нужно предложить обобщнную задачу, а ещ лучше дать учащимся возможность самим обобщить решнную задачу, чтобы затем решить таковую, видоизменяя, если нужно прежний способ.
В практике обучения общее классное задание рассчитано на среднего ученика, а для расширения познавательных способностей более сильных учащихся необходимы дополнительные задания по самостоятельному обобщению и решению составленных задач. Если, скажем готовую задачу, решают все учащиеся в основном одинаковой последовательностью рассуждений, то с обобщением уже справляется не всякий. Результат обобщения зависит не столько от суммы знаний, примерно одинаковой для всех учащихся класса, а от умения комбинировать, связывать эти знания по новому, заглядывать дальше обычных пределов.
Характер упражнений, выполняемых в классе, должен отразится и на характере контрольных и проверочных работ чему обучают, то и следует проверять. Всякая математическая задача неисчерпаема в своих связях с другими задачами после решения задачи почти всегда можно найти предмет размышления, найти несколько направлений, в которых удатся обобщить задачу, и найти затем решение созданных таким образом новых проблем.
Время и усилия, затраченные на обобщение знаний, окупаются той большой экономией мышления, в последующем, которые достигаются благодаря единообразным методам усвоения материала.