Подходы к определению правильного многогранника

Подходы к определению правильного многогранника.

После введения выпуклых многогранников изучаются их виды призмы, пирамиды и их разновидности. Практически во всех учебниках они определяются одинаково. А при введении определения правильного многогранника авторы учебников расходятся во взглядах. Поэтому интересно рассмотреть различные подходы к определению понятия правильного многогранника и их методические особенности.

В различных учебниках по стереометрии используются разные определения этого понятия. Так, в учебнике 4 и других выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике 22 вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон.

Пособие А.Д. Александрова и других 3 по сравнению с учебником 4 накладывает дополнительное требование равенства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в нем отрезком. 3 Учебное пособие 16 дает такое определение выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней. В 15 многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

И, наконец, в книге 9 сказано многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны. Как видим, во всех перечисленных учебниках даются различные определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства правильных многогранников. Перечислим их 1 . Выпуклость многогранника. 2 . Все грани - равные правильные многоугольники. 3 . Все грани - правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон. 4 . В каждой вершине сходится одинаковое число ребер. 5 . Все многогранные углы имеют одинаковое число граней. 6 . Равны все многогранные углы. 7 . Равны все двугранные углы. Возможны и другие свойства правильных многогранников, например 8 . Равны все ребра многогранника. 9 . Равны все плоские углы многогранника.

Какие же свойства следует взять для определения правильного многогранника? Каким методическим требованиям оно должно удовлетворять? Нам представляется, что для отбора свойств в определении правильного многогранника нужно руководствоваться следующими требованиями - Всякое определение должно быть полным, т. е. включать те свойства, которые полностью определяют данное понятие.

Иными словами, любое свойство данного понятия должно быть выводимо из свойств, перечисленных в определении Всякое определение должно быть по возможности экономным, т. е. не содержать лишних свойств, которые выводятся из остальных свойств правильного многогранника Определение понятия правильного многогранника должно отражать уже имеющиеся представления учащихся о слове правильный правильный многоугольник, правильная пирамида и т. д Определение понятия правильного многогранника должно быть пространственным аналогом определения понятия правильного многоугольника на плоскости Определение правильного многогранника должно допускать возможные обобщения, например, на случай полуправильных и топологически правильных многогранников Определение должно быть педагогически целесообразным, т. е. свойства, включенные в него, должны в той или иной степени использоваться при изучении правильных многогранников, нести определенные педагогические функции.

Пространственными аналогами определения правильного многоугольника являются определения, данные в пособиях 15 и 9 . К числу достоинств этих определений мы относим и то, что в них отсутствует требование выпуклости, которое, с одной стороны, является довольно сложным для учащихся, а с другой - фактически не используется при доказательстве теорем и решении задач.

К недостаткам этих определений следует отнести то, что они не обобщаются на случаи полуправильных и топологически правильных многогранников.

Например, равенство двугранных углов не переносится на случай полуправильных многогранников. Для определения топологически правильных многогранников следует использовать свойства, носящие топологический характер.

Такими свойствами из перечисленных выше являются 3 , 4 и 5 . Поэтому лучше всего для этих целей подходит определение правильных многогранников, данное в учебнике 22 . Таким образом, мы видим, что ни одно из рассмотренных выше определений правильного многогранника не является универсальным, т. е. удовлетворяющим всем требованиям. В зависимости от целей обучения следует выбирать и соответствующее им определение. Так, если надо только ознакомить учащихся с определением правильного многогранника, установив аналогию с определением правильного многоугольника, не исследуя при этом подробно свойства правильных многогранников, то целесообразно использовать определения, данные в пособиях 15 и 9 . Если же мы хотим рассмотреть свойства правильных многогранников более подробно, в частности перейти к полуправильным и топологически правильным многогранникам, то лучше всего обратиться к определениям из учебников 4 и 22 . 29 , 27 2.Изучение многогранников в школьном курсе математики.

В школьных учебниках после изучения бесконечно-протяженных и в силу этого весьма абстрактных геометрических фигур прямых и плоскостей вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве изучаются зримые, конечные, даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в первую очередь многогранники.

Многогранник точнее, модель многогранника можно изготовить, повертеть в руках, развернуть его поверхность или даже разрезать - посмотреть на сечение. В данной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использовать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств не забывая уделять достаточное внимание и построению проекционных чертежей. О наглядных средствах поговорим немного позднее.

Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников это их классификация и изучение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматриваются простые характеристики - численные длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей и качественные, типа правильности. Собственно говоря, качественные характеристики - это одна из основ классификации многогранников.

Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные многогранники пять платоновых тел, то логическую схему классификации школьных многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются и строго определяются только два вида многогранников призмы и пирамиды.

Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов - призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n 3, 4, 5 Более детальная классификация - по взаимному расположению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно разветвленная И далее Школьная классификация пирамид менее разветвленная Первая задача учителя - добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естественный вопрос почему столько внимания и столько задач посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три 1 эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории главным образом теории объемов 2 они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих скажем, архитектурные формы 3 они обладают хорошими свойствами, т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

Последнее преимущество обусловлено свойствами симметричности с другой стороны, как раз хорошие свойства и используются в теоретических целях.

Все теоремы этой темы относятся к избранным многогранникам, причем совсем просто доказываются и наполовину имеют вычислительный характер т. е. вид формул. Поэтому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем с доказательствами. Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - научить школьников решать задачи.

Практически все задачи упражнения темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем раскрываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах находят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим. Рассмотрим изучение темы Многогранники в школьных учебниках.

Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном. 2.1 Учебник Атанасяна Л.С. Рассмотрим изучение темы Многогранники по учебнику Атанасяна. Этот учебник предназначен для общеобразовательной школы. Остановимся на нем подробнее. Данная тема изучается в главе 3. На изучение ее отводится 12 уроков.

Ниже приведено поурочное планирование в таблице. Номер урока Содержание учебного материала 1-4 1. Понятие многогранника. Призма. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. п.25-27 5-9 2. Пирамида. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды. п.28-30 10 3. Правильные многогранники. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. п. 31-33 11 Контрольная работа. 12 Зачет по теме. Еще до изучения темы Многогранники учащиеся знакомятся с их простейшими видами в главе 1 4 Тетраэдр и параллелепипед. На их изучение отводится 5 часов.

Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся в данной главе для того, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.

При объяснении понятий тетраэдра и параллелепипеда необходимо подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед - поверхности, составленные из плоских поверхностей многоугольников. Для формирования у учащихся представления о способах изображения на чертеже тетраэдра и параллелепипеда полезно с помощью диапроектора показать на экране различные проекции их каркасных моделей. Полезно также обсудить простейшие свойства параллельной проекции.

В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, что называется тетраэдром, параллелепипедом, указывать и называть на моделях и чертежах элементы этих многогранников знать свойства граней и диагоналей параллелепипеда уметь изображать тетраэдр и параллелепипед, строить их сечения. Основная цель темы Многогранники - дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников. Учащиеся уже знакомы с такими понятиями, как тетраэдр и параллелепипед, и теперь им предстоит расширить представления о многогранниках и их свойствах.

В учебнике нет строгого математического определения многогранника, а приводится лишь некоторое описание, так как строгое определение громоздко и трудно не только для понимания учащимися, но и для его применения. Такое наглядное представление о геометрических телах вполне достаточно для ученика на первичном уровне рассмотрения понятия. Ниже, в п. 26, рассматривается определение геометрического тела, в связи с чем вводится ряд новых понятий.

Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике. На уроке, используя модели многогранников куб, параллелепипед, тетраэдр, призма, необходимо назвать учащимся их элементы вершины, грани, ребра, диагонали граней и диагонали рассматриваемых тел. Важно, чтобы школьники усвоили эти понятия, что позволит правильно понимать формулировки задач, не смешивая названия различных элементов в процессе их решения.

После этого вводится понятие выпуклого и не выпуклого многогранников обязательно учащимся показать примеры невыпуклых многогранников. Призма А1 А2 Аn В1 В2 Вn определяется как многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1 А2 Аn и В1 В2 Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов А1 А2 В2 В1 Аn А1 В1 Вn. Далее вводятся определения элементов призмы, с помощью моделей разъясняются понятия прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что четырехугольная призма - это знакомый им параллелепипед.

У произвольного параллелепипеда все шесть граней - параллелограммы, а боковые грани - прямоугольники, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней - прямоугольники. При изучении площади поверхности призмы доказывается теорема о площади боковой поверхности прямой призмы. Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А1 А2 Аn и n-треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах основание пирамиды - правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды.

Можно устно доказать, что боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. После этого вводится понятие апофемы правильной пирамиды высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины, при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.

При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S площадь боковой грани. Тогда Sбок n S Sбок n ad, Sбок n a d, Sбок Pd, где P - периметр основания пирамиды. Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой.

Усеченная пирамида - это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду. При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания - правильные многоугольники, а боковые грани - равные равнобедренные трапеции высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды.

Также выводится формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды. Последнее, что изучается в теме Многогранники в учебнике 4 , это симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры.

При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение а все грани такого многогранника - равные правильные многоугольники б в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n ? 6. Целесообразно предложить учащимся изготовить дома модели правильных многогранников.

Для этой цели надо использовать развертки, изображенные в учебнике. Таким образом, в данном учебнике многогранники изучаются с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности. Весь теоретический материал темы относится либо к прямым призмам, либо к правильным призмам и правильным пирамидам. Все теоремы доказываются достаточно просто, результаты могут быть записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера, при решении которых отрабатываются умения учащихся пользоваться сведениями из тригонометрии, формулами площадей, решать задачи с использованием таких понятий, как угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и др. 4 , 24 2.2Учебник Смирновой И.М. Данный учебник предназначен для преподавания геометрии 10-11 классах гуманитарного профиля.

По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера. Как и в 4 , особенностью учебника является раннее введение пространственных фигур, в том числе многогранников, в п.3 Основные пространственные фигуры. Цель - сформировать представления учащихся об основных понятиях стереометрии, ознакомить с пространственными фигурами и моделированием многогранников. Вводиться понятие многогранника как пространственной фигуры, поверхность которой состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника.

Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника, а вершины многоугольников - вершинами многогранника.

Учащимся демонстрируются следующие многогранники - куб - многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов - параллелепипед - многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов - прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого грани - прямоугольники - призма - многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями причем у каждого параллелограмма два противоположных ребра лежат на основаниях призмы - прямая призма - призма, боковые грани которой - прямоугольники правильная призма - прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники - пирамида - многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды - правильная пирамида - пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны.

Показываются более сложные многогранники, в том числе правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Рассматривается несколько способов изготовления моделей многогранников из разверток и геометрического конструктора. Моделирование многогранников служит важным фактором развития пространственных представлений учащихся. Таким образом, к началу непосредственного изучения темы Многогранники учащиеся уже знакомы на доступном для них уровне с традиционным материалом по этой теме. Появляется возможность расширить представления учащихся о многогранниках, рассмотрев с ними более подробно правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Основная цель данного раздела - ознакомить учащихся с понятием выпуклости и свойствами выпуклых многогранников, рассмотреть теорему Эйлера и ее приложения к решению задач, сформировать представления о правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках.

Можно привести примерное тематическое планирование данной темы. Пункт учебника Содержание Кол-во часов 18 Выпуклые многогранники 2 19 Теорема Эйлера 2 20 Приложения теоремы Эйлера 2 21 Правильные многогранники 2 22 Топологически правильные многогранники 1 23 Полуправильные многогранники 2 23 Звездчатые многогранники 1 Среди пространственных фигур особое значение имеют выпуклые фигуры и, в частности, выпуклые многогранники. Данное понятие в учебнике вводится следующим образом многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

Далее рассматриваются свойства выпуклых многогранников. После изучения выпуклых многогранников рассматривается теорема Эйлера и ее приложения. В качестве таких приложений рассматриваются задача о трех домиках и трех колодцах, проблема четырех красок, вводится понятие графа. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники возможно, и с разным числом сторон, причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Рассматриваются пять видов правильных многогранников, некоторые виды полуправильных и четыре звездчатых многогранника. При изучении правильных, полуправильных и звездчатых многогранников следует использовать модели этих многогранников, изготовление которых описано в учебнике, а также графические компьютерные средства. 28 , 27 , 29 , 30 2.3 Учебник Александрова А.Д. Данный учебник предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым.

В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе не доступны даже для сильных учеников, например, сферическая геометрия. Отметим особенности изучения многогранников в данном учебнике.

Во-первых, многогранники изучаются после круглых тел. Во-вторых, при изучении многогранника и его элементов прослеживается связь с многоугольником. Вследствие чего возможны две последовательности изложения темы 1 обобщить понятие многоугольника, затем разобрать аналогичные вопросы в пространстве 2 пользуясь 21 учебника, дать сначала определение многогранника, далее обобщить понятие многоугольника. Особенностью является введение двух определений призмы как в учебниках, рассмотренных выше, и как цилиндр, в основании которого лежит многоугольник, причем доказывается равносильность этих определений.

Аналогично дается другое определение пирамиде как конус с многоугольником в основании. Пункт 23.6 содержит раздел о триангулировании многогранника, и в нем дается другое, конструктивное определение многогранника. 24 Выпуклые многогранники впервые излагается в столь серьезном виде, рассматривается вопрос равносильности двух определений выпуклого многогранника.

Изложение темы Правильные многогранники также отличается от ее изложения в учебниках по геометрии других авторских коллективов сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Обычно же после определения сразу доказывалась теорема, а существование показывалось позже, что усложняло методику рассказа.

Таким образом, учебник содержит очень богатый теоретический материал по многогранникам, которого нет в других учебниках по геометрии, также он может быть использован как учебник для дополнительного изучения в основной школе. Ниже в таблице приведено примерное поурочное планирование материала. 3 , 20 урока Содержание учебного материала 1-2 Обобщение понятие многоугольника. Многогранник. 3-5 Призма, параллелепипед. Упражнения. 6-10 Пирамида. Виды пирамид. Упражнения. 11-13 Выпуклые многогранники. 14-16 Теорема Эйлера.

Развертка выпуклого многогранника. 17-19 Правильные многогранники. Подводя итоги выше сказанного, можно сказать, что во всех учебниках при изучении многогранников рассматривается практически одни и те же основные темы определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники. Разница лишь в глубине изучения этих вопросов в гуманитарных классах 28 тема изучается более поверхностно, практически без доказательств, в классах с углубленным изучением математики 3 данный вопрос рассматривается глубоко, с научными обоснованиями.

Также есть различия в некоторых дополнительных темах, например, полуправильные и звездчатые многогранники рассматриваются только в 28 . В настоящее время во многих общеобразовательных школах идет обучение по учебнику 4 , поэтому при выборе содержания можно опираться на него. 3.