Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников

Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников. Тема Многогранники, как никакая другая тема школьного курса стереометрии, за исключением, быть может, изучения круглых тел, дает широкие возможности использования различных наглядных средств.

Наглядность является обязательным качеством любого обучения. Путем целенаправленных действий мы формируем в сознании учащегося некоторую систему понятий, отношений между ними. Для того чтобы обучение было успешным, необходимо, чтобы ученик мог воспринимать эту систему и работать с ней. Но для этого, в свою очередь, необходимо предъявить ученику некоторую ее материальную модель.

Для этого применяют наглядные средства обучения. Например, если изучается понятие пирамиды, то такой моделью может быть 1 словесное описание определение этого понятия 2 объемная модель пирамиды каркасная или сплошная 3 ее развертка 4 изображение пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т. п. Все перечисленные объекты являются материальными моделями, с той или иной стороны отражающими понятие пирамиды. Основными наглядными средствами при изучении многогранников являются объемные модели.

Такие модели, сделанные из разных материалов, соответствуют различным дидактическим целям. Так, например, с помощью картонной модели можно показать форму многогранника. Также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела. Но из-за непрозрачности картона уже нельзя использовать картонные многогранники для демонстрации сечения тел и тел, вписанных друг в друга. Стеклянные модели рекомендуется использовать в тех случаях, когда необходимо показать в многограннике сечение или другое вписанное в него геометрическое тело. Деревянные модели отличаются прочностью.

Проволочные каркасные модели также находят широкое применение на уроках стереометрии. Они позволяют показать виды, элементы и проекцию многогранника на плоскость тень модели на листе белой бумаги, сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел. Такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге.

Можно перечислить серии каркасных моделей, которые могут быть использованы на уроке набор моделей правильных призм и пирамид полных и усеченных, набор моделей четырехугольных пирамид, вершины которых проектируются в точку пересечения диагоналей основания кроме основного контура, модель должна иметь высоту, диагональ основания и высоты боковых граней, набор моделей на комбинации многогранников. Выпускаемые промышленностью модели не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обучении школьников математике.

Поэтому учителя часто прибегают к изготовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют необходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усовершенствования, учитель привлекает учащихся к изготовлению нового варианта модели.

Это содействует получению учащимися более глубоких и прочных знаний, умений применять теоретический материал на практике. Модели как фабричного, так и самодельного изготовления могут быть использованы при введении новых понятий и доказательстве теорем, при решении задач, при выполнении практических и лабораторных работ. Другим удобным видом учебного оборудования являются резиновые штемпели штампы с изображением различных плоских и объемных фигур, графиков, таблиц и т. д. К сожалению, такое средство обучения сейчас редко встречается в школе.

При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штемпелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени.

Естественно, применение штемпелей недолжно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фигуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных контрольных заданий. Можно, например, заготовить 35-40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, проставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.

Также при изучении многогранников можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его закреплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить выполнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков, можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед всем классом.

Например, при ведении понятия пирамида можно использовать таблицу с изображением пирамиды, ее основных элементов и частных видов. В отличие от рабочих таблиц справочные таблицы, т.е. таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зрительный аппарат учащегося. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль их дидактическая направленность.

Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица Вычисление площадей и объемов многогранников, в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида. Большие возможности воспитания самостоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной основой.

В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоятельной работы на этапе закрепления и повторения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально использовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредоточивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь.

Как правило, такие тетради чаще используются в младших классах. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения, данные в тетради, могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций. Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать понятия и прививать учащимся навыки решения типовых задач. Также нельзя забывать и про такие средства обучения как диапозитивы, кодопозитивы, компьютерные средства, которые могут быть эффективно применены при изучении многогранников и не только их. Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний.

Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдвигается даже дидактическое правило чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики.

Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нельзя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступенях обучения. Таким образом, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те средства, с которыми легче организовать необходимую работу учащихся, т. е. наиболее в данный момент простые для их восприятия.

Например, если на уроке предполагается начать знакомство с понятием какого-то частного вида многогранника, то наиболее удобными окажутся объемные изображения или изображения на киноэкране. В процессе же закрепления этого понятия достаточно просты для восприятия плоские чертежи или словесные описания. Таким образом, чтобы некоторая материальная модель позволяла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприятия учащихся. 19 , 21 4.Опорные задачи по теме Многогранники. Как уже говорилось, изучение многогранников является важнейшей частью курса стереометрии.

Они дают богатый задачный материал как при изучении самой темы многогранники, так и при изучении последующих тем стереометрии. Чаще всего в учебниках мало простых задач на геометрические тела, поэтому на уроке удается решить всего 2-3 задачи средней трудности. Но они не всем ученикам под силу. Если ограничиваться только такими задачами, то многие ученики не смогут принимать активное участие в их решении, и будут отставать.

Если же специально уделять на уроке время для задач, которые сводятся к одной-двум операциям и потому доступны для устного решения, то можно втянуть в работу всех учеников. Устное решение задач на многогранники значительно улучшает пространственное мышление учащихся, которое играет важную роль в стереометрии.

Поэтому подробнее остановимся именно на таких задачах. Так как основные геометрические тела, изучаемые в школе, это призмы и пирамиды, то задачи, приведенные ниже, посвящены темам Призма. Пирамида. Их сечения. Площади полной и боковой поверхностей. Кроме того, задачи разбиты на типы задачи на доказательство, на исследование, на построение, на вычисление. Большое количество задач можно предлагать для решения вместе с готовым рисунком, когда один рисунок будет сопровождать несколько задач, в которых идет речь об одном и том же геометрическом теле. Но готовые рисунки сопутствуют далеко не всем задачам, поскольку само изготовление изображения является важной частью решения.

Учитель может варьировать стратегию обучения. В одних случаях - начинать с готового рисунка, а в других демонстрировать рисунок на откидной доске или на экране только после того, как учащиеся сами сделали нужные изображения в своих тетрадях. 4.1 Задачи по теме Призма. Для простоты введем обозначения.

Буквами а, b, c обозначим соответственно длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, буквой d - длину диагонали основания. Прописные буквы Н, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру ее основания, а буквы s, Q , Sб и Sn - площадям s - основания, Q - диагонального сечения, Sб - боковой поверхности, Sn - полной поверхности призмы. Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания обозначаем греческой буквой г. 1 Задачи на вычисление.

Четырехугольная призма. Перед решением задач 1 и 2 следует повторить формулы для вычисления элементов куба со стороной a Задача 3 и некоторые из следующих за ней, в которых речь идет о прямоугольном параллелепипеде, потребуют использования формул D2 а2 b2 с2 ,d2 a2 b2 , s аb, Q d с, Sб Р с. 1. Ребро куба равно а. Найдите диагональ грани диагональ куба периметр основания площадь грани площадь диагонального сечения площадь поверхности куба периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной и той же вершины 2. По рис. 4.1 и по данным элементам в табл. 1 найдите остальные элементы куба. Таблица 1 а d D s Q 5 14 11 196 3. По рис.4.2 и по данным элементам в табл. 2 найдите остальные элементы прямоугольного параллелепипеда.

Таблица 2. а b с d D г s Q 3 4 5 5 12 7 24 45? 8 6 15 17 17 4. Перпендикулярным сечением наклонной 4-угольной призмы является ромб со стороной 3 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если боковое ребро равно 12 см. 5. Найдите боковую поверхность наклонного параллелепипеда с боковым ребром 32 см и смежными сторонами перпендикулярного сечения 10 см и 8 см. 6. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 3 см. Высота призмы - 5 см. Найдите диагональ основания диагональ боковой грани диагональ призмы площадь основания площадь диагонального сечения площадь боковой поверхности площадь поверхности призмы. 7. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна -32 см, а площадь поверхности 40 см. Найдите высоту призмы.

Решение.

Площадь основания равна S см2 , сторона основания - 2 см, периметр основания Р 8 см, а высота призмы см2 . Треугольная, шестиугольная и n-угольная призмы. Перед решением задач целесообразно повторить формулы Sб РН и Sп 2Sб 2s для произвольной призмы, а также формулы Р 3а, s - для правильной треугольной и Р 6а, s -для правильной шестиугольной призмы со стороной основания а. 8. Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны 2 см, 3 см и 4 см. Боковая поверхность призмы - 45 см. Найдите ее боковое ребро.

Решение. В перпендикулярном сечении призмы - треугольник рис. 4.3 , периметр которого 2 3 4 9 см, поэтому боковое ребро равно 45 9 5 см . 9. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если известно, что площадь сечения, проходящего через средние линии оснований, равна 25 см. Решение. В сечении - прямоугольник, у которого одна сторона равна боковому ребру, а другая - половина стороны основания рис. 4.4 . Следовательно, его площадь в 2 раза меньше площади боковой грани.

Итак, площадь боковой грани 50 см, а боковой поверхности - 50 3 150 см . 10. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно 12 см. Вычислите площадь основания площадь боковой поверхности площадь поверхности площадь сечения, проведенного через медиану основания и боковое ребро, которые проходят через одну вершину основания. 11. В прямой треугольной призме все ребра равны.

Площадь боковой поверхности 12 см. Найдите высоту. 12. Найдите неизвестные элементы правильно треугольно й призмы по элементам, заданным в табл.3. а Н Р Sб Sп 6 90 6 15 90 12 144 108 12б 13. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, если дана площадь Q большего диагонального сечения. Решение. Площадь большего диагонального сечения рис. 4.5 Q 2aH, aH . Площадь боковой поверхности равна 6 Q 3Q. 14. Через две неравные диагонали основания правильной 6-угольной призмы проведены диагональные сечения.

Найдите отношение их площадей. Решение. Отношение площадей диагональных сечений рис. 4.5-4.6 равно отношению неравных диагоналей правильного 6-угольника, сторона которого а S1, S2 2а а 2 . 15. По элементам, данным в табл. 4, найдите неизвестные элементы правильной шестиугольной призмы. Таблица 4 а Н Р Sб Sп 4 7 6 720 5 18 20 240 12 144 16. В правильной n-угольной призме проведена плоскость под углом 60? к основанию так, что она пересекает все боковые грани призмы.

Площадь основания равна 50 см2. Найдите площадь сечения. Решение. Sосн Sсеч cos 60, Sсе ч 100 см 2 . 17. Дана n-угольная призма. Найти сумму величин ее плоских углов. Решение. Найдем сумму плоских углов двух оснований и всех боковых граней 180 n - 2 2 360n 360n - 720 360n 720 n - 1 . 2 Задачи на исследование. 1. Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонтальные грани? Ответ нет. 2. Можно ли куб с ребром в 7 см оклеить листом бумаги в виде прямоугольника шириной14 см и длиной в 21 см? Решение.

Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7 см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами 7 см и 21 см, а потом каждый из них - на три квадрата со стороной 7 см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб. 3. Сколько нужно взять прямоугольников и каким свойством они должны обладать, чтобы из них можно было составить прямоугольный параллелепипед? Решение.

Два прямоугольника для оснований со сторонами а и b, четыре прямоугольника для боковой грани. Из них два со сторонами с и а и два со сторонами с и b. 4. Установите, прямой или наклонной является призма, у которой две смежные боковые грани перпендикулярны основанию. Решение. Призма является прямой. Две смежные боковые грани пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости основания. Остальные ребра параллельны данному ребру и, следовательно, тоже перпендикулярны основанию. 5. Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 ребер? 54 ребра? Решение.

Число ребер n-угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма. 6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет n граней? Решение. Число сторон многоугольника, лежащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно n - 2, так как в призме две грани являются основаниями. Таким образом, в основании n - 2 -угольник. 3 Задачи на доказательство. 1. В параллелепипеде диагонали основания равны, а боковое ребро перпендикулярно двум смежным сторонам основания.

Докажите, что параллелепипед прямоугольный. Доказательство. В основании - параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а боковое ребро перпендикулярно основанию по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. 2. Докажите, что число ребер призмы кратно 3. Доказательство. В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер. 3. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы равна 360 . Доказательство.

Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении - четырехугольник, сумма его углов S 180 4 - 2 360 . 4. Если призма имеет 18 граней, то в ее основании лежит 16-угольник. Докажите. Доказательство. У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник. 5. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK Концы их соединены отрезками рис. 4.7 . Докажите, что многогранник NEFK - правильный тетраэдр. 6. Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боковой грани рис. 4.8 . Докажите. 7. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником. Доказательство.

Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны. 4 Задачи на построение Сечения можно рисовать на заранее подготовленном изображении призмы. 1. Постройте сечение куба в виде а треугольника, б четырехугольника, в пятиугольника, г шестиугольника. 2. Постройте плоскость, проходящую через сторону нижнего основания треугольной призмы. Какие многоугольники получаются в сечении призмы при вращении этой плоскости вокруг стороны? Ответ сечение может иметь форму треугольника, трапеции. 3. В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол б рис. 4.9 . Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснения.

Построение.

Проведем из вершины A правильного треугольника АВС высоту АК. Точка K принадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол МКА - искомый. 4. В основании прямой призмы рис. 4.10 лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC1D1 образует с плоскостью основания двугранный угол б. Постройте его линейный угол. Построение.

Это угол между высотами трапеций ABCD и ABC1D1 проведенными из их общей вершины тупого угла. Используем теорему о трех перпендикулярах. 5. Сечение BCD1A1 прямоугольного параллелепипеда рис. 4.11 образует с плоскостью основания двугранный угол в. Как построить его линейный угол? Построение. Следует использовать теорему о трех перпендикулярах. Искомый угол - это угол между диагональю А1В или D1C .боковой грани и стороной основания АВ или CD , лежащей в этой грани. 4.2 Задачи по теме Пирамида . 1 Задачи на вычисление 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота составляет с боковой гранью угол, равный 37 . Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.

Ответ 74 . 2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Ответ 30 . 3. Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь ее основания 16 см2. Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного параллельно основанию через середину бокового ребра.

Ответ 10 см, 4 см2. 4. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основании, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды. Ответ 6 см. 5. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см, оно составляет с основанием угол 45 . Определите расстояние от центра основания до бокового ребра. Решение. Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d 10 см. Ответ 10 см. 6. Используя рис. 4.12, на котором изображена правильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1 и табл. 2. Таблица 1 а b h k в 1 6 4 2 12 45 3 4 60 4 4 2 Таблица 2 а k h b б I 2 2 1 45 3 4 2 4 4 60 Указание.

Перед решением задачи следует повторить и затем записать на доске формулы NC , ON , OC 7. Используя рис. 4.13, на котором изображена правильная четырехугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 3 и табл. 4. Таблица 3 а k h b б 1 2 2 2 45 3 6 3 4 4 30 Таблица 4 а b h k в 1 4 60 2 2 45 3 8 4 4 4 8 Указание.

Перед решением этой задачи следует повторить и затем записать на доске формулы AC , ON , OC 8. Площадь боковой поверхности пирамиды, в основании которой лежит трапеция, равна 2Q. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы. Найдите сумму площадей боковых граней, проходящих через непараллельные стороны трапеции. Ответ Q. 9. В основании пирамиды лежит ромб. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные углы. Площадь одной из боковых граней равна Q. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ 4Q. 10. Вычислите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, если известно, что ее боковое ребро. равное а. со стороной основания составляет угол 60 Ответ 11. Дана правильная треугольная пирамида, у которой а - сторона основания, k - апофема, P - периметр основания, S1 - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды.

Заполните табл. 5. Таблица 5 а k Р S1 S 1 5 75 2 24 24 3 18 297 4 45 315 5 198 202 Указание. Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу. Перед решением необходимо повторить и записать на доске формулы , P 3a, S S1 S2 , S2 S2 - площадь основания пирам иды. 12. Дана правильная четырехугольная пирамида. у которой а - сторона основания, k - апофема, P - периметр основания, S1 - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды. Таблица 6 а k р S, S I 6 12 2 13 689 3 16 288 4 44 396 5 352 416 Указание.

Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу. Перед решением следует повторить и записать на доске формулы , P 4a, S S1 S2 , S2 a2 S2 - площадь основания пирамиды. 2 Задачи на исследование. 1. Сколько вершин, ребер и граней имеет n-угольная пирамида? Ответ n 1 вершин. n 1 граней, 2п ребер. 2. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны? Решение. Плоские углы при вершине пирамиды равны 60 , так как каждая боковая грань - равносторонний треугольник.

Следовательно, боковых граней меньше, чем 360 60 6. т.е. в основании может быть равносторонний треугольник, квадрат или пятиугольник. 3. В каких пределах находится плоский угол б при вершине правильной n-угольной пирамиды. если n 3, 4, 5, 6? 4. У треугольной пирамиды все боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находиться на одной из граней? Ответ может, если в основании прямоугольный треугольник. 5. Сравните термины правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр. Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же? 6. Боковые ребра пирамиды равны.

Может ли ее основанием быть а прямоугольная трапеция, б ромб? Ответ а не может, поскольку такую трапецию нельзя вписать в окружность б может только в случае, если основание - квадрат. 7. При каком соотношении в правильной треугольной пирамиде между стороной основания а и боковым ребром b ее можно построить? Ответ 3 Задачи на доказательство. 1. Докажите, что число плоских углов в n-угольной пирамиде делится на 4. 2. Если в правильной треугольной пирамиде высота Н равна стороне основания а, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60 . Верно ли это утверждение? Решение.

Высота пирамиды проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около основания, б - искомый угол, tgб, б 60 . 3. Доказать или опровергнуть утверждение если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная. Решение. Основание пирамиды - правильный многоугольник.

Так как боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр основания, следовательно, пирамида - правильная. 4. Доказать, что сумма площадей проекций боковых граней пирамиды на основание может быть больше площади основания. Ответ может, если высота пирамиды не проходит через основание пирамиды. 5 Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см. Решение. Половина диагонали квадрата является катетом в прямоугольном треугольнике, этот катет равен, а боковое ребро - гипотенуза - равно 7 см. Получается, что катет больше гипотенузы. 6. Доказать, что в правильной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания б меньше угла наклона боковой грани к плоскости основания в. 4 Задачи на построение. 1. Постройте два изображения одной пирамиды, одно - имеющее наибольшее число видимых ребер, другое - наименьшее число видимых ребер.

Указание. Вид со стороны вершины, все ребра видимые.

Вид со стороны основания, видны только ребра основания. 2. В правильной четырехугольной пирамиде рис. 4.14 апофема образует с плоскостью основания угол 1. Обозначьте этот угол на рисунке. 3. На рис. 4.15 изображена пирамида РАВС, у которой PH АВС, PK. ВС, TEРВС, Е PBC. Верен ли чертеж? Решение. По условию PHАВС, PKВС, т.е. по теореме о трех перпендикулярах HK ВС, и PHK PBC. Так как, опять же по условию, TEРВС, то отрезок ТЕ либо параллелен плоскости РНК, либо принадлежит ей. В любом случае чертеж неверен. 4. На рис. 4.16 изображена пирамида КАBCD. Через точку М, МАВК, провести прямую, параллельную BD. Решение.

Проведем через прямую BD и данную точку М плоскость. Она пересечет грань АВК по прямой ВЕ ЕКА , а грань ADK по прямой ED. В построенной плоскости BED проведем через точку М прямую параллельно BD. 5. Постройте точку пересечения прямой МН с плоскостью основания пирамиды SABCD рис. 4.17 . 6. В основании треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны, лежит прямоугольный треугольник рис. 4.18 . Постройте высоту пирамиды. 7. Через точку М на плоскости б рис. 4.19 проведена прямая, которая пересекает грань АКС пирамиды КАВС в точке Н. Какую еще грань пересечет эта прямая? 8. Постройте многогранник, имеющий 11 ребер.

Указание. Четырехугольная пирамида имеет 8 ребер, если у нее срезать угол при основании, добавится 3 ребра. Всего у многогранника будет 11 ребер. 25 , 26 , 8 , 12 , 13