Математическое моделирование в школе

Математическое моделирование в школе. Развитие у учащихся правильных представлений о природе математики и отражении математической наукой явлений и процессов реального мира является программным требованием к обучению математике.

Доминирующим средством реализации этой программной цели является метод математического моделирования. Этот метод имеет своей основой моделирование математическое и предметное. Применительно к обучению математике воспользуемся определением моделирования, которое предлагает И.Г.Обойщикова, и будем понимать под моделированием обобщенное интеллектуальное умение учащихся, состоящее в замене математических объектов, их отношений, способов деятельности моделями в виде изображений отрезками, числовыми лучами, схемами, значками 26 . Для моделирования привлекаются различные математические объекты числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств а также неравенств и уравнений, ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы. Математическое моделирование находит применение при решении многих сюжетных задач.

Уже уравнение, составленное по условию задачи, является ее алгебраической моделью.

Моделированию, особенно алгебраическому и аналитическому, следует уделить в школе должное внимание, так как математические модели используются для решения или хотя бы облегчения решения сюжетных задач. Кроме того, при построении модели используется такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствует его развитию. Составление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности.

При решении сюжетных задач особенно часто используются их алгебраические и аналитические модели. Такой моделью может быть функция, описывающая явление или процесс, уравнение, система уравнений, неравенство, система неравенств, система уравнений и неравенств и др. При составлении модели задача, таким образом, переводится на язык алгебры или математического анализа.

Рассмотрим несколько примеров математических моделей. Задача 1. Турист проехал 2200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на каждом виде транспорта? Решение. Примем расстояние, которое проехал турист на автомобиле за x км. Известно, что на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, то есть 2x км. На поезде проехал в 4 раза больше, чем на теплоходе, то есть. Весь путь - это сумма расстояний, которые проехал турист на каждом из видов транспорта и он равен 2200 км. Получим следующее уравнение - это и есть математическая модель данной задачи. Задача 2. На школьной математической олимпиаде было предложено решить 6 задач.

За каждую решенную задачу засчитывалось 10 очков, а за нерешенную снималось 3 очка. В следующий тур выходили ученики, набравшие не менее 30 очков. Сколько задач нужно было решить, чтобы попасть в следующий тур олимпиады? См. 151, 18 . Решение.

Пусть ученик должен решить х задач. Тогда за решенные задачи он получит 10х очков, а за 6-х нерешенных задач у него снимут 3 6-х очков. Ученик может получить 10х-3 6-х очков все переменные выражены через выбранное х и значения других величин, заданных в задаче. По условию задачи и. Моделью задачи служит система неравенств. Далее в качестве примера рассмотрим задачу математического анализа на нахождение экстремума. Надо заметить, что аналитической моделью задачи на наибольшее наименьшее значение является функция одного переменного с областью ее задания.

Обычно областью задания является замкнутый промежуток. Задача 3. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? См. 313, 2 . Решение. Требуется найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью. Обозначим за a - длину прямоугольника, тогда ширина равна Полученная функция является моделью данной задачи.

Отметим, что в общем случае процесс моделирования состоит из следующих этапов 1 этап. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию. 2 этап. Констатация затруднительности или невозможности исследования оригинала. 3 этап. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию. 4 этап. Исследование модели в соответствии с поставленной задачей. 5 этап. Перенос результатов исследования модели на оригинал. 6 этап. Проверка этих результатов.

На сегодняшний день наиболее распространенной является трехэтапная схема процесса математического моделирования 1 перевод предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, то есть построение математической модели задачи формализация 2 решение задачи в рамках математической теории решение внутри модели 3 перевод полученного результата математического решения на язык, на котором была сформулирована исходная задача интерпретация полученного решения. Наиболее ответственным и сложным является первый этап - само построение математической модели.

Оно осуществляется логическим путем на основе глубокого анализа изучаемого явления процесса и требует умения описать явление процесс на языке математики. В свою очередь, в процессе построения модели можно выделить несколько шагов. Первый шаг - индуктивный это отбор наблюдений, относящихся к тому процессу, который предстоит моделировать.

Этот этап состоит в формулировке проблемы, то есть в принятии решения относительно того, что следует принимать во внимание, а чем можно пренебречь. Второй шаг заключается в переходе от определения проблемы к собственно построению неформальной модели. Неформальная модель - это такое описание процесса, которое способно объяснить отобранные нами наблюдения, но при этом определено недостаточно строго, и нельзя с точностью проверить степень логической взаимосвязанности в нем свойств.

На этой стадии рассматриваются целый ряд наборов неформальных допущений, способных объяснить одни и те же данные тем самым рассматриваются несколько потенциальных моделей и решается, какая из этих моделей лучше всего отображает изучаемый процесс. Иначе говоря, ищутся различные способы установления логического соответствия между моделью и реальным миром. Третий шаг - это перевод неформальной модели в математическую модель. Такой перевод включает в себя рассмотрение словесного описания неформальной модели и поиск подходящей математической структуры, способной отобразить изучаемые процессы.

Это самый сложный этап во всем процессе моделирования. Стадия перевода может таить в себе две опасности. Во-первых, неформальные модели имеют тенденцию быть неоднозначными, и обычно существует несколько способов перевода неформальной модели в математическую при этом альтернативные математические модели могут иметь совершенно различный смысл. На самом деле это одна из главных причин, изначально толкающих к применению математических моделей язык математики лишен двусмысленностей и более точен, чем естественный язык, он позволяет исследовать скрытый смысл тончайших различий в формулировках, который плохо доступен исследованию посредством естественного языка.

Следующий этап - этап решения задачи в рамках математической теории - можно еще назвать этапом математической обработки формальной модели. Он является решающим в математическом моделировании. Именно здесь применяется весь арсенал математических методов - логических, алгебраических, геометрических и т. д для формального вывода нетривиальных следствий из исходных допущений модели. На стадии математической обработки обычно - вне зависимости от сути задачи - имеют дело с чистыми абстракциями и используют одинаковые математические средства.

Этот этап представляет собой дедуктивное ядро моделирования. На последнем этапе моделирования полученные выводы проходят через еще один процесс перевода - на сей раз с языка математики обратно на естественный язык. Рассмотрим на примере реализацию всех этапов процесса математического моделирования. Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 540 км. Первый автомобиль ехал со скоростью, на 10 км ч большей, чем второй, и прибыл в пункт В на 45 мин раньше второго.

Найдите скорость каждого автомобиля см. 218, 1 . I этап. Формализация. Построим математическую модель задачи. Обозначим за x км ч - скорость второго автомобиля, тогда скорость первого автомобиля равна x 10 км ч. ч - время, потраченное на весь путь вторым автомобилем. ч - время, потраченное на весь путь первым автомобилем.

Известно, что второй автомобиль потратил на путь на 45 мин больше, чем первый Полученное уравнение является математической моделью данной задачи. II этап. Внутримодельное решение. Перенесем все слагаемые в одну часть. Приведем слагаемые к общему знаменателю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получим следующую систему. Получили, что и. III этап. Интерпретация.

Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи. Так скорость автомобиля не может быть отрицательным числом, то условию задачи соответствует только один корень, т.е. скорость второго автомобиля равна 80 км ч, а скорость первого 90 км ч. Задача 2. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 долларов. В последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 доллар больше.

Сколько стоил магнитофон? Решение. I этап. Формализация. Построим математическую модель задачи. Пусть х - число студентов в группе, у долларов - величина первоначально предлагаемого взноса. Тогда стоимость магнитофона. После того, как двое отказались участвовать в покупке, студентов стало, а взнос составил доллар. Следовательно стоимость магнитофона равна. Условие задачи можно представить в виде системы Математическая модель построена.

II этап. Внутримодельное решение. Рассмотрим систему, состоящую из уравнения и неравенства В уравнении раскроем скобки и приведем подобные. Получим следующую систему Из уравнения выразим y Следовательно Так как х-натуральное число, то сейчас систему неравенств можно решать в натуральных числах. Из неравенства имеем х. Из неравенства имеем х. Таким образом, нужно найти натуральные решения неравенств. Ясно, что х 20. Тогда у 9 и 180. III этап. Интерпретация.

Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи. Магнитофон стоил 180 долларов. Задача 3. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Укажите такие размеры окна, чтобы при данном периметре l оно пропускало больше света см. 156, 18 . Решение. I этап. Формализация. Построим математическую модель данной задачи. Требуется найти размеры окна с наибольшей площадью. Обозначим размеры r - радиус полукруга, h - высота прямоугольника, тогда основание прямоугольника 2r. Чтобы определить, какое из переменных выбрать аргументом исследуемой функции, надо посмотреть, какое из них проще выражается через другое l 2r 2h r, h , r. Удобней выбрать r, так как для выражения площади понадобится r2, а h входит в это выражение линейно.

S r. Эта функция и есть модель данной задачи. II этап. Внутримодельное решение. Ясно, что 0 r. Найдем производную функции S r. Воспользуемся необходимым условием экстремума l-r 4 0. Отсюда r. Из соображений здравого смысла окно не может иметь наименьшую площадь, поэтому найденное значение r - точка максимума.

При этом r h. III этап. Интерпретация. Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи. Чтобы при данном периметре l окно пропускало больше света, необходимо установить следующие размеры окна r h Учителю следует добиться от учащихся четкого понимания значения и содержания каждого из выше описанных этапов процесса математического моделирования. Это нужно для того, чтобы школьники усвоили, что они решают не просто математическую задачу, а конкретную жизненную ситуацию математическими методами.

Тогда учащиеся смогут увидеть в математике практическое значение, и не будут воспринимать ее как абстрактную науку. Метод математического моделирования является мощным инструментом для исследования различных процессов и систем. Приложения этого метода к решению конкретных задач изложены в ряде известных монографий и учебных пособий. Вместе с тем, многие из них предполагают достаточно высокий уровень математической подготовки учеников, что зачастую вызывает определенные трудности при изучении материала.

Понятие математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы школьной программы, посвященные задачам на работу, движение, проценты, прогрессии и, наконец, задачам на применение производных и интегралов, могут рассматриваться как введение в метод математического моделирования 24 . 1.4. Функции и цели обучения математическому моделированию в школе Терешин Н. А. 28 выделяет следующие дидактические функции математического моделирования 1. Познавательная функция.

Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному. Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта.

Реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысления изучаемого материала. 2. Функция управления деятельностью учащихся. Математическое моделирование предметно и потому облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа схемы, графика с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при тех или иных преобразованиях. Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта. 3. Интерпретационная функция.

Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью пары объектов центр и радиус, уравнением относительно осей координат, а также с помощью рисунка или чертежа. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других - геометрической моделью.

Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон. Можно также говорить об эстетических функциях моделирования, а также о таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала и т. д. Кроме этих функций можно выделить еще одну - не менее важную - эвристическую. Математическая модель, выступая как выражение количеством качества объекта, позволяет экспериментировать с его количественной стороной, дает возможность определить границы устойчивости, нормальный и оптимальный режимы функционирования, еще глубже проникнуть в качественный аспект объекта - показать его внутренние закономерности.

В этом и раскрывается эвристическая функция математического моделирования и его возможности для решения проблем разных наук биологии, химии, физики, медицины и других 30 . Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно.

Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности. 1.5. Роль изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов В литературных источниках отмечается использование моделирования в обучении математике как средства познания и осмысления нового знания, выделяются его виды, отмечаются условия, необходимые для его формирования Л. М. Фридман, В. В. Давыдов, С. И. Архангельский, О. Б. Епишева, В. И. Крупич, Л. С. Катаева, Г. А. Балл и др Вместе с тем остается недостаточной разработанность вопросов обучения приему моделирования, наиболее эффективной реализации всех его потенциальных возможностей.

Некоторые авторы считают, что в условиях развивающего обучения формирование у учащихся приемов интеллектуальной деятельности является одной из центральных задач А. К. Артемов, В. В. Давыдов, И. С. Якиманская и другие, ее существенным приемом является моделирование.

Модели упрощают восприятие учащимися какой-либо ситуации и обеспечивают целостность восприятия, развивают компоненты абстрактного мышления анализ, сравнение, обобщение, абстрагирование и др совершенствуют логическое мышление и помогают глубже усвоить учебный материал, так как позволяют изучать свойства объекта в чистом виде 26 . Необходимость овладения математическим моделированием как особым действием диктуется психолого-педагогическими соображениями.

Изучение процесса обучения привело к разработке психологической теории учения. Теория поэтапного формирования умственных действий, разработанная советским психологом П.Я.Гальпериным и его сотрудниками, исходит из положения, что процесс обучения - это процесс овладения системой умственных действий. При этом овладение умственным действием происходит в процессе интериоризации перехода вовнутрь соответствующего внешнего практического действия.

Когда ученика знакомят с каким-либо действием, которым ему нужно овладеть, то согласно данной теории знакомство надо начинать с выполнения этого действия соответствующими материальными предметами. Для того чтобы лучше увидеть общие черты усваиваемого действия, надо отвлечься от ненужных в данном случае свойств предметов. Это значит, что нужно перейти от действия с материальными предметами к действию с их заместителями - моделями, свободными от всех других свойств, кроме нужных в данном случае, то есть перейти на этап материализованного действия.

Это может быть какая-то графическая схема, образная или знаковая модель, на которой или с помощью которой ученик выполняет усваиваемое действие 31 . Математическое моделирование служит особым видом образно-знаковой идеализации и построения научной предметности. Моделирование позволяет видеть предмет как объект исследования, определять действия с ним задолго до того, как будет получен конечный результат.

А это означает, что с самого первого момента конструирования создается образ, который позволит ориентироваться в предмете и анализировать его, служит средством продвижения в содержании. Согласно теории поэтапного формирования умственных действий построение и работа с моделями составляют обязательный и очень важный этап овладения умственными действиями 31 . Развитие у учащихся правильных представлений о характере отражения математикой явлений и процессов реального мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике имеет большое значение для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся, их математического, психологического и общего развития.

Можно сделать вывод, что одной из важных задач курса обучения детей математике является овладение детьми моделированием. Овладение школьниками общеучебным универсальным умением моделировать предполагает поэтапное овладение ими конкретными предметными умениями представлять задачу в виде таблицы, схемы, числового выражения, формулы уравнения, чертежа и уметь осуществлять переход от одной модели к другой.

Учебный предмет, развертывающийся как система понятий, требует логики движения в его познании от всеобщих свойств к конкретным, выделение и исследование оснований, определяющих данную систему, что невозможно без языка моделирования. Моделирование в обучении должно быть усвоено учащимися и как способ познания, которым они должны овладеть, и как важнейшее учебное действие, являющееся составным элементом учебной деятельности.

С этой целью обучение элементам математического моделирования начинается еще в средней школе. Изучение моделирования в этот период, большей своей частью, связано с решением сюжетных задач. Моделирование - это метод и средство познания, а сюжетные задачи - это один из полигонов, где отрабатывается моделирование. Умение решать задачи выступает как один из критериев сформированности умения моделировать, а также служит мотивационной составляющей процесса обучения 8 . Сюжетные задачи есть первый класс задач, на которых раскрывается идея моделирования реальных процессов.

Но следует отметить, что представление школьников о моделировании и моделях весьма неясное и ограниченное. Учащиеся не знают, что имеют дело с моделями, изучают модели, так как и в программах, и в учебниках понятия модели и моделирования почти отсутствуют. Потом учащиеся с удивлением узнают, что они все время изучают модели, что привычные им понятия уравнения, числа, фигуры, равномерного движения, массы и другие являются научными моделями, что, решая задачи, они моделируют 31 . Поэтому необходимо явно включить моделирование в содержание учебных предметов, знакомить учащихся с современной трактовкой понятий моделирования и модели, использовать моделирование как метод научного познания и решения задач.

Наиболее благоприятным для начала изучения математического моделирования является 5 - 6 класс, так как именно в этот период у школьников происходят определенные психические изменения.

В зависимости от того, как школьники будут относиться к учебной деятельности, как они научатся самостоятельно овладевать знаниями, такими и будут их дальнейшие успехи в обучении. Вопросы, изучаемые в курсе математики 5 - 6 классов, составляют фундамент, на котором строится дальнейшее обучение как математике, так и другим предметам. От уровня знаний и умений, сформированных в 5 - 6 классах, зависит успешное овладение всем курсом математики.

В процессе изучения математического моделирования в это время учащиеся знакомятся с теоретическими фактами, идет формирование основных математических понятий, показ применения математических фактов на практике. Поэтому на этом этапе у школьников складывается определенное отношение к решению задач, а значит и к математике в целом. Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решение 32 . Моделирование можно рассматривать как особую деятельность по построению выбору или конструированию моделей, и как всякая деятельность она имеет внешнее практическое содержание и внутреннюю психическую сущность.

Следовательно, моделирование как психическая деятельность может включаться в качестве компонента в такие психические процессы, как восприятие, представление, память, воображение и, конечно, мышление.

В свою очередь, все эти психические процессы включаются в деятельность моделирования как сложную деятельность 31 . Модели и связанные с ними представления являются продуктами сложной познавательной деятельности, включающей прежде всего мыслительную переработку исходного чувственного материала, его очищение от случайных моментов. Модели выступают как продукты и как средство осуществления этой деятельности. Таким образом, включение моделирования в учебный процесс рационализирует его и одновременно активизирует познавательную деятельность учащихся.

Следовательно, решается не только конкретная учебная задача, но и осуществляется развитие учащихся. Широкое использование моделирования - одно из методических средств развивающего обучения математике. Моделирование отражает преимущественно теоретический стиль мышления, который в большей мере содействует развитию учащихся, приобщает их к научному стилю мышления. И.Г.Обойщикова предлагает осуществлять обучение учащихся приему моделирования поэтапно в начальных классах - неявно, лишь упоминая, что, заменяя данные задачи значками или графической схемой, мы используем модели, на этом этапе следует обучать учащихся действиям, входящим в ядро моделирования умение сопоставлять объекты, умение противопоставлять объекты, умение сравнивать объекты путем сопоставления или противопоставления, умение абстрагироваться, умение обобщать объекты в 5 классе - явно и осознанно, раскрывая его сущность, изучая операции, входящие в оболочку моделирования умение строить модель, умение проводить преобразования модели и умение ее конкретизировать в 6 классе - самостоятельно используя прием в несложных случаях.

Проблема моделирования в начальной школе рассматривается А.К.Артемовым, Л. П. Стойловой, М А. Бородулько, Е. В. Конновой, М.Н.Сизовой, Т. Н. Харлановой и другими, но в 5 - 6 классах лишь некоторые авторы используют моделирование при решении сюжетных задач.

Специальная методика формирования приема моделирования для названной ступени обучения пока еше слабо разработана.

Однако вопросы моделирования приобретают все большее значение в обучении 26 . В учебниках новых поколений понятие математической модели и математического моделирования появляется уже на самых ранних этапах обучения. Так, например, в учебнике для 5 класса Г. В. Дорофеева, Л.Г.Петерсон уже во 2 параграфе первой части предлагается для изучения тема Математические модели 11 . В силу различных причин реально в школе эти учебники используются редко, поэтому идеи математического моделирования большинству учащихся незнакомы.

Роль изучения элементов математического моделирования в 5 - 6 классах - пропедевтическая. В этот период происходит первичное знакомство учащихся с понятиями модель и моделирование, а также с отдельными действиями, характерными для метода математического моделирования. Вопросы, изучаемые в курсе математики 5 - 6 классов, составляют фундамент, на котором строится дальнейшее обучение как математике, так и другим предметам.

В связи с выше изложенным рассмотрим особенности изучения темы Математические модели по учебникам Математика для 5 - 6 классов авторов Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон и дадим краткий обзор учебников 6 , 7 , 11-17 , 21 , 22 с точки зрения наличия элементов математического моделирования. Выводы по главе 1 1. В ходе изучения психолого-педагогической, философской, методической литературы были рассмотрены различные определения понятия модель и моделирование и их классификации.

Из всех определений этих понятий можно выделить основные черты модели модель замещает объект-оригинал сохраняет некоторые важные свойства объекта-оригинала результаты исследования модели переносятся на оригинал. В свою очередь под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Из всего многообразия моделей большинство специалистов выделяют два класса моделей 1 материальные реально существующие, построенные из каких-либо вещественных предметов из металла, дерева, стекла и других материалов 2 идеальные воображаемые, основанные на мысленном представлении . 2.Математическое моделирование, как частный случай моделирования, предполагает использование в качестве средства исследования оригинала его математическую модель, с помощью которой появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом. 3. Использование моделирования в обучении имеет два аспекта.

Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, теми методами познания, которыми они должны овладеть, и, во-вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Метод моделирования используется в любой науке, обладает огромной эвристической силой позволяет свести изучение сложного к простому, невидимого - к видимому, то есть сделать любой сложный объект доступным для тщательного всестороннего изучения. 4.Представления школьников о математическом моделировании весьма ограничены, хотя математическое моделирование играет важную роль в развитии диалектико-материалистического мировоззрения и является мощным методом научного познания.

Включение в школьный курс математики уже на ранних этапах обучения понятий модель и моделирование, формирование простейших умений математического моделирования играет важную роль в развитии личности в целом.

Обучение моделированию учащихся приводит к повышению эффективности обучения и общеразвивающему эффекту. Глава 2.