Методика изучения стохастики в основной школе

Методика изучения стохастики в основной школе. В данной главе на основе выводов, полученных в 1 главе, предлагается методика по реализации стохастической линии в основной школе. В предложенной методике работа ведется параллельно по всем направлениям. Для каждого класса ставятся свои цели и задачи, для реализации которых необходим правильно подобранный набор задач. 1. Методика реализации стохастической линии в 5 классе. Основными задачами на этом этапе являются Выработка умений и навыков работать с таблицей, извлекать из таблиц информацию и анализировать ее. Выработка умений заполнять в таблице пустые графы строки, столбцы. Формирование умений читать диаграммы, извлекать необходимую информацию.

Формирование умений и навыков в составлении, выборе и упорядочении комбинаторных наборов. Формирование умений подсчета комбинаторных объектов, методом непосредственного перебора. Показать, что такое дерево возможных вариантов, его использование как один из методов решения КЗ. Формирование представления о том, какое событие является достоверным, какое невозможным, и какое событие мы можем назвать случайным.

Формирование у учащихся понимания степени случайности в различных событиях и явлениях и использование для ее оценки адекватных вероятностных терминов достоверно, маловероятно и т.д Формирование комбинаторных навыков, как уже говорилось в 1 главе, нужно начинать как можно раньше. Желательно вести пропедевтическую работу уже в начальных классах.

А в 5 классе предлагаются простейшие комбинаторные задачи, решая которые должна вестись либо работа по перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо их объединение - перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто возникают такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и перед нами встает проблема рассмотреть все возможные варианты решения. Для этого нам нужно найти удобный способ перебора, при котором будут рассмотрены всевозможные варианты, и они не повторялись бы. На первом месте перед учителем стоит задача по формированию навыков систематического перебора.

Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол? Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.

После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты. Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи.

В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче 1-ое место - Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.

Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места? В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор.

В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами. В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа как попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание. Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно.

Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать. В алфавите племени УАУА имеются только две буквы - а и у. Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени? В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.

Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной задачи сначала нужно выбрать первую букву - это могут быть буквы а или у, поэтому в дереве из корня проведем две веточки с буквами а и у на концах.

Вторая буква может быть опять как а так и у, поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д. Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - слова ааа аау ауа ауу уаа уау ууа ууу. Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы В 5 А классе в среду 4 урока математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду? В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой. Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента.

Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета мы можем упорядочить 6-ью способами из ранее рассмотренных задач. Аналогично для оставшихся трех предметов.

Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета. В 5 классе начинается работа по формированию вероятностных представлений у учащихся. Сначала рассмотрим понятие случайное событие. Часто в жизни мы употребляем такие слова, как возможно, это невероятно, это маловероятно и т.д. Подобные выражения мы используем, когда говорим о событии, которое в одних условиях может произойти, а может и не произойти.

Такие события называют случайными. События, которые при данных условиях обязательно происходит, называют достоверным. События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными. Для отработки данных понятий можно рассмотреть упражнения, в которых нужно определить является событие достоверным, невозможным или случайным. Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие невозможными, а какие случайными и почему вы так считаете А при бросании кубика вы получите шестерку Б при бросании кубика вы получите число больше 6 В при бросании кубика вы получите четное число Г при бросании кубика вы получите число, которое делится на 7 Д при бросании кубика вы получите число больше 1 Е при бросании кубика вы получите нечетное число Ж кубик, упав, останется на ребре. В мешке лежит 10 шаров 3 синих, 3 белых и 4 красных.

Какие из следующих событий являются случайными, достоверными и невозможными и почему вы так считаете А из мешка вынули 4 шара и все они синие Б из мешка вынули 4 шара и все они красные В из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета Г из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета Ученик задумал натуральное число.

Какие из следующих событий будут достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете. А Задумано четное число Б Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным В Задумано нечетное число Г задумано число, являющееся четным или не четным.

События А и В являются случайными, так как может быть загадано как четное, так и нечетное число. Возникает вопрос, какое из событий более вероятно задумано четное число или задумано нечетное число. Так как чисел четных и нечетных одинаковое количество, то оба эти события имеют равные шансы. Такие события называются равновероятными. Также о некоторых случайных событиях мы можем сказать, что оно маловероятно или очень вероятно. Укажите, какие из следующих событий - невозможные, достоверные, случайные, а о каких мы можем сказать, что оно маловероятно или очень вероятно 1 футбольный матч Спартак - Динамо закончится вничью. 2 вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее. 3 в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце. 4 завтра будет контрольная по математике. 5 Вы получите 5 за контрольную работу по математике 6 30 февраля будет дождь. 7 вас изберут президентом США. 8 вас изберут президентом России. 9 круглая отличница получит двойку 10 на день рождения вам подарят живого крокодила Если в предыдущих задачах ответы на вопросы однозначны, то здесь ответ зависит от ситуации, от того, когда и кому задан вопрос.

Например, о достоверности события 4 мы можем говорить, в зависимости от дня, когда задан вопрос, если на следующий день действительно будет контрольная по математике, то это событие достоверно.

При ответе на 5 вопрос учащийся, который учится на отлично и уверенный в своих силах и в этой контрольной, с уверенностью скажет, что это событие для него является достоверным. В то время как очень слабый учащийся, которому очень тяжело дается математика, в свою очередь может дать ответ, что для него событие является невозможным.

Событие 9 является очень маловероятным, но, тем не менее, возможным, так как даже отличницы не застрахованы от двоек. Здесь важна роль учителя, который должен оценивать правильность тех или иных ответов, и обращать внимание, что на одни и те же вопросы разные учащиеся могут дать разные ответы, и каждый будет прав. Важно уже в 5 классе давать учащимся задачи следующего плана Данила и Наташа заспорили, кто из них будет первым читать интересную книгу.

Тогда Наташа предложила сыграть в игру и книгу отдать победителю. Они взяли вертушку, которая изображена на рис.1, и установили следующие правила игры каждый из них поочередно крутит вертушку если стрелка останавливается в области 1, то 1 очко получает Наташа, а если - в области 2, то 1 очко получает Данила.

Если стрелка попадает в область 3, то никто из ребят не получает очков. Кто первым наберет 20 очков, тот считается победителем и получает книгу. Как вы думаете, при таких правилах игра будет справедливой? Учащиеся еще не знакомы с понятием вероятность и при ответе на вопрос должны опираться на свою интуицию. Они должны понимать, что у Наташи больше шансов выиграть, чем у Данилы, так как область 1 в два раза больше, чем область 2, и больше вероятности, что вертушка остановится в области 2. Очень важным элементом стохастики является анализ данных и начальным этапом анализа данных является работа с таблицами и диаграммами, которую необходимо начинать в 5 классе.

Начинать рассмотрение таблиц нужно с рассмотрения уже известных учащимся таблиц, в частности страница классного журнала, расписание уроков и т.п. С такими таблицами учащиеся чаще всего уже уметь работать и извлекать из нее всю необходимую им информацию. Рассмотрим расписание уроков.

Учащиеся уже наверняка умеют им пользоваться, извлекать из него необходимую информацию. Из расписания можно узнать, в каком кабинете будет проходить нужный урок, определить количество уроков в день. Рассмотрим такую ситуацию Оля - учится в 5-А классе, а ее подружка из соседнего дома в 5-Б классе, нужно узнать, по каким дням они могут вместе возвращаться домой. Имея перед собой расписание, можно быстро определить такие дни. Часто в таблице для анализа информации необходимо бывает просуммировать содержащиеся в ней данные.

Поэтому часто в таблицу включен столбик или строка Всего или Итого, которые содержат полученные суммы. В таблице 1 представлены результаты наблюдений за погодой в течение четырех месяцев. Таблица 1. Погода Месяцы Всего Декабрь Январь Февраль Март Ясно 5 9 7 10 Пасмурно 19 10 15 10 Переменная облачность 7 12 6 11 Заполните последний столбец. Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы 1 в каком месяце было больше всего ясных дней? 2 В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней? 3 Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца 4 Сколько ясных дней было за всю зиму? 5 Какая погода преобладала в феврале? Здесь и работа со строками и со столбцами, и подсчет суммы нескольких ячеек.

Часто приходится пользоваться не только готовыми таблицами, но и составлять их самим. Рассмотрим следующий пример. Старосте класса поручили выяснить, как добираются до школы ее одноклассники. Она опросила всех учащихся и представила данные в виде таблицы Средство передвижения Подсчет голосов Число учащихся Пешком На автобусе На велосипеде 12 8 4 Всего 24 Из таблицы видно, что староста опросила 24 ученика и половина из них добирается до школы пешком, а треть - на автобусе.

Рассмотрим пример, показывающий практическую ценность сбора и анализа статистических данных. Вы решили в свободное время собраться классом и организовать некоторое классное мероприятие, но еще не решили, что именно. Было бы целесообразным учесть мнение большинства учащихся класса, а для этого нужно провести опрос Как бы вы хотели провести свободное время классом? и предложить варианты ответов.

Результаты нужно занести в таблицу. Например, получили следующие результаты Таблица 2. Сходить в кино 5 Сходить в поход 10 Устроить дискотеку 4 Сходить в планетарий 2 Рассматривая эту таблицу, мы делаем вывод, что лучше всего будет сходить в поход, так как большинством учащихся класса был выбран именно этот вариант. Таблица является одним из способов представления информации, но более наглядным является графическое представление данных.

Это различные диаграммы линейные, столбчатые и круговые. Построим столбчатую диаграмму по нашей таблице По диаграмме мы сразу видим, что большинство учащихся хочет сходить в поход. И лишь два человека желают посетить планетарий. Для представления соотношения между частями некоторого единого целого, удобно пользоваться круговыми диаграммами. Для нашего примера она будет выглядеть следующим образом В 5 классе учащиеся должны уметь читать диаграммы.

Для отработки таких умений нужно рассматривать задания следующего типа. Используя диаграмму 3, ответьте на вопросы 1 в каком месяце в селе родилось больше всего детей? 2 В каком месяце родилось столько же детей, сколько в апреле? 3 В какие месяцы родилось по два ребенка? 4 Сколько детей родилось в марте? 5 Сколько детей родилось за первую половину года? 6 Сколько детей родилось за весь год? 2. Методика реализации стохастической линии в 6 классе. Основные задачи Отработка умений и навыков в составлении и подсчете числа комбинаторных наборов.

Показать учащимся как можно решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений. Познакомить учащихся с правилом умножения при подсчете числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению. Познакомить с правилом суммы Формирование умений строить дерево возможных вариантов. Формирование умений сравнения вероятностей разных событий более вероятно, менее вероятно Познакомить с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания.

В 6 классе в теме комбинаторика продолжаем рассматривать комбинаторные задачи, на первый план выходят задачи по подсчету числа возможных вариантов. Существует несколько подходов к преподаванию комбинаторики теоретико-множественный, лексико-графический и теоретико-вероятностный. В школе преимущество отдается теоретико-множественному подходу, но будет полезным частично обратиться и к лексико-графическому подходу.

При таком подходе все определения опираются на представление об алфавите, словах, длине слов и др. Решая задачи, иногда очень удобно использовать кодирование, то есть обращение к лексико-графическому подходу. Рассмотрим следующую задачу несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов - белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны - свой флаг. Мы можем записывать наше решение следующим образом 1 вариант первая полоса - красная, вторая - синяя, третья - белая. и т.д. Но это очень долго и не удобно, записывая так, сложно сориентироваться все ли варианты мы записали, и не повторились ли мы где-нибудь.

Поэтому очень удобно ввести кодирование, т.е. некоторое условное обозначение перебираемых в задаче объектов. В нашем случае мы заменим первой буквой каждый цвет полосы. Белый соответственно - Б , красный - К и синий - С . Введя кодирование, запись решения задачи очень упрощается.

Мы имеем множество из трех элементов Б, К, С . Нужно составить различные комбинации из трех элементов, при этом порядок элементов учитывается. Например, запись БКС будет обозначать, что первая полоса флага - белая, вторая - красная, третья - синяя. Подобные задачи мы уже решали методом непосредственного перебора и построением дерева возможных вариантов. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями.

Сколько всего было сделано рукопожатий? Данную задачу можно решать методом непосредственного перебора, и уже в самом начале заметим, что довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться, не говоря уже о записи решения этой задачи. Но, введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем следующим образом например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. При чем число 35 и 53 означают одно и тоже рукопожатие, и брать будем меньшее из них. Коды рукопожатий мы можем оформить следующей таблицей 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 34, 35, 36, 37, 38, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 67, 68, 78. Таким образом, у нас получилось 1 2 3 4 5 6 7 28 рукопожатий.

После того как учащиеся научились составлять всевозможные наборы, на первый план выдвигается задача подсчета числа возможных вариантов. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново - Борисово - Власово - Грибово.

Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды? Построим для этой задачи дерево возможных вариантов Пусть у нас П -обозначает путь пешком Р - сплавиться по реке В - доехать на велосипедах.

Ответ на второй вопрос также хорошо просматривается по дереву возможных вариантов. Но эту задачу можно решить по-другому, с помощью рассуждений. Из Антоново в Борисово у нас 2 варианта каким образом продолжать путь, из Борисово во Власово тоже 2 варианта, т.е. на каждый вариант первого участка пути у нас есть по 2 варианта второго участка пути и того на данном этапе у нас будет 2 2 4 варианта выбора способа передвижения.

На каждый из этих 4 вариантов существует по 3 варианта способа передвижения по третьему участку пути из Власово в Грибово, т.е. 4 3 12. Ответ в этой задаче мы получили умножением. Такой способ подсчета называется правилом умножения, он возможен, если дерево возможных вариантов является правильным из каждого узла выходит одно и тоже число веток. От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались? Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево возможных вариантов Чтоб подняться у нас есть 4 тропы 4 варианта и на каждый из них есть по 3 оставшихся тропы 3 варианта, чтоб спуститься, т.е. 4 3 12 маршрутов подхода к озеру. А теперь представим, что к озеру ведут не 4, а 10 троп. Сколько в этом случае существует маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой поднимались.

Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации очень сложно.

Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подняться к озеру можно по любой из 10 троп, а спускаться по любой из оставшихся 9 троп. Таким образом, всего получим 10 9 90 различных маршрутов похода. Обе эти задачи мы решили, используя правило умножения, которое звучит следующим образом пусть необходимо выполнить к независимых действий, если первое действие мы можем выполнить п1 способами, после чего второе действие можем выполнить п2 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить пk способами, тогда выполнить все k действия в указанном порядке можно п1 п2 пk способами. Обратить внимание, что, применяя правило умножения, мы учитываем порядок действий.

То есть правило умножения применяется для подсчета упорядоченных наборов. Рассмотрим две задачи 1 Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя? На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель - любой из 29 оставшихся учеников.

Таким образом, получаем 30 29 870 способов. 2 Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом для второй задачи будет 30 29 2. Еще одним способом подсчета комбинаторных наборов является использование правила суммы.

Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков? Выбрать одну девочку из 22 мы можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно 18 22 способами. Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно сформулировать так если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п способами, а другое - m способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n m способами.

В нашем примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого. В 6 классе продолжаем вероятностную линию. Начинаем с повторения, что такое случайное событие, определение его достоверности невозможное, достоверное, маловероятное. Новой задачей становится формирование умения оценивать вероятности двух и более событий более или менее вероятно. Полезно рассматривать задачи, в которых при ответе на вопросы необходимо опираться на свою интуицию.

Можно рассматривать реальные жизненные ситуации, чтоб учащиеся видели непосредственную связь изучаемого с действительностью. Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные А телевизор не сломается в течении года. Б телевизор не сломается в течении двух лет. В в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.

Г телевизор сломается на третий год. Здесь нужно обратить внимание учащихся, что первые два события случайные, так как, во-первых, гарантия фирмы производителя вовсе не обозначает, что в течение двух лет телевизор будет работать идеально, а во-вторых, можно рассмотреть и тот случай, когда телевизор может сломаться по вине покупателя.

Событие Г также является случайным, так как нельзя говорить, что телевизор обязательно сломается после того, как закончится срок гарантии. Хотя оба первых события являются случайными, мы можем говорить о том, что одно из них более вероятно, а другое менее вероятно. Учащиеся должны осознавать большую или меньшую вероятность того или события. Сравните между собой на основе жизненного опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определите, какие их них наиболее вероятны.

А вам никто не позвонит с 5 до 6 утра. Б вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра. В вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера. Г вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера. Здесь нужно учесть индивидуальные особенности, в результате которых для разных людей возможны различные ответы на поставленные вопросы. Так, поскольку ранним утром звонки вообще бывают очень редко, у события Б шансов крайне мало, оно маловероятное, почти невозможное. Но вот у события А очень много шансов, это практически достоверное событие.

Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие В для большинства людей вероятней, чем событие Г. Хотя, если человеку вообще звонят редко, событие Г может оказаться вероятнее события В. Полезно рассмотреть задачи следующего плана 1 Вини Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве всех-всех-всех событие Вини и Пятачок будут сидеть рядом является достоверным, а при каком случайным? 2 В школе учится N учеников.

При каких N событие В школе есть ученики с совпадающими днями рождения является случайным, а при каких - достоверным? Здесь учащиеся сами должны придумать условие, при которых эти события являются случайными, а при которых достоверными. В 6 классе учащимся предлагается качественно новая деятельность для урока математики - проведение экспериментов. Это могут быть эксперименты с подбрасыванием кубика, монеты или кнопки. Все результаты экспериментов необходимо оформлять в виде таблиц, которые заполняются по ходу эксперимента.

Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его. Могут быть предложены следующие задания-эксперименты. Задание 1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений орла и решки. Задание 2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх. Задание 3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв. Задание 4. Выберите 7 строк произвольного текста можно несколько различных текстов. Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю. Результатом должны быть таблицы примерно такого плана Таблица 1. Эксперимент по подбрасыванию монеты. Событие Количество выпадений итого Выпал орел 58 Выпала решка 42 После проведения эксперимента, введем понятие частота и вероятность случайного события.

В качестве примера рассмотрим таблицу 1. Для проведенного эксперимента подсчитаем, какую часть составляет выпадение орла от общего числа бросаний монеты, или, как говорят, подсчитаем частоту. Тоже самое подсчитаем для решки. Для нашего случая это будет 0,58 для орла и 0,42 для решки. Можно составить общую таблицу, в которой будут отражены общие результаты проведенного эксперимента.

После этого можно обратиться к результатам проведенных ранее экспериментов.

Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в 18 столетии 4040 раз подбрасывал монету - герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале 20 столетия подбрасывал ее 24000 раз - герб выпал 12012 раз. Американские экспериментаторы повторили опыт. При 10000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Таким образом, опираясь на собственные результаты и полученные ранее можно заметить, что при подбрасывании монеты частота появления орла примерно равна 0,5. Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания монеты - случайное событие, при многократном повторении эксперимента видна отчетливая закономерность при увеличении количества экспериментов значение частоты сосредотачивается около некоторого числа р. Это число р и будет вероятностью данного события.

Для нашего примера число 0,5 - это вероятность случайного события выпадения орла. Так как в этих экспериментах решка появляется также примерно в половине случаев, то и вероятность выпадения решки равна 0,5. Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р. Если обозначить событие выпадет орел буквой А, а событие выпадет решка буквой В, наш результат можно записать так Р А 0,5, Р В 0,5. Иногда вероятность выражают в процентах, тогда Р А 50 , Р В 50 . Тот факт, что вероятность появления орла равна 0,5, конечно, не означает, что в любой серии экспериментов орел появится ровно в половине случаев.

Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что орел выпадет примерно в половине случаев.

Таким образом, в каждом из экспериментов подсчитаем частоту рассматриваемых событий с помощью формулы Частота число появлений события число экспериментов. Затем, используя найденную частоту, оценим вероятность рассматриваемых событий. Кроме экспериментов, рассматриваются задачи с уже известными данными о появлении некоторого события, и требуется вычислить вероятность этого события. Известно, что на 100 батареек попадаются 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку.

В этой задаче необходимо вычислить вероятность события А купить бракованную батарейку, зная, что из ста случаев, это событие произошло 3 раза. Таким образом, получаем, что Р А 0,03. Составляя таблицы с результатами, проведенных экспериментов, учащиеся приобретают навыки работы со статистическими данными представление статистических данных и некоторые выводы из них. Кроме этого в 6 классе рассматриваются задачи непосредственно направленные на работу с таблицами чтение и составление. Некоторые таблицы бывают очень простые с ними мы работали в 5 классе, но бывают таблицы и по сложнее.

Например, турнирные таблицы, в которых записывается ход соревнования и его результаты. Рассмотрим турнирную таблицу, в которой представлены итоги шахматного турнира с четырьмя участниками Фамилия 1 2 3 4 Очки Место 1 Виноградов О. 0 0 1 2 Галкин М. 1 Ѕ 1 3 Поликарпов С. 1 Ѕ 0 4 Антипов Е. 0 0 1 За победу участник получает 1 очко, за проигрыш - 0, а за ничью -1 2. По данной таблице могут быть заданы следующие вопросы 1 сколько партий сыграл каждый участник 2 как сыграл Поликарпов с каждым из участников 3 заполнить последний столбец, сосчитав, сколько очков набрал каждый участник. 4 определить, используя данные в столбце Очки, как распределились места между участниками. 3. Методика реализации стохастической линии в 7 классе.

Основные задачи Введение понятия перестановки и вывод формулы числа перестановок. Познакомить учащихся с основными статистическими характеристиками среднее арифметическое, мода, размах.

Умение находить основные статистические характеристики для конкретного ряда данных, а также из таблиц и диаграмм. Выработка умений находить основные статистические характеристики в несложных случаях, учащиеся должны понимать их практический смысл в конкретных ситуациях. Ввести первые статистические характеристики можно, используя ряд чисел, составленный из оценок полученных за четверть. Для школьников очень актуален вопрос о том, какая оценка выйдет у них за четверть.

Каждому учащемуся заранее можно выписать его оценки за четверть. Учитель выписывает на доске некоторый ряд оценок, и на его примере вводит понятия среднего арифметического и моды ряда чисел. Дети для закрепления этих понятий, находят эти статистические характеристики каждый для своего ряда. Также нужно обратить внимание, что моду может иметь не только числовой ряд. Приведем пример допустим, в вашем классе провели опрос - каждому учащемуся задали вопрос какой ваш любимый предмет? или кто ваш любимый учитель Полученные ответы будут составлять ряд, модой которого будет наиболее часто встречающийся ответ на данный вопрос. Мода - это показатель, который широко используется в статистике.

Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопроса, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать новые автобусные маршруты и т.п. предварительно изучается спрос и выявляется мода - наиболее часто встречающийся заказ.

Однако нахождение среднего арифметического или моды ряда далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных. Например, на планете Меркурий средняя температура 15 Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -150? до 350 Значит, если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе помимо средних значений надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой.

Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Размах - это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Для температуры на Меркурии, например, размах равен 350 -150? 500 Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может. Помимо размаха, во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие значения данных.

Например, если посылается спутник для исследования того же Меркурия, необходимо, чтобы приборы работали и при максимальных, и при минимальных возможных там температурах. Сначала нужно рассмотреть задачи, где дан конкретный ряд данных и нужно определить его среднее арифметическое, моду и размах. А затем перейти к задачам, где необходимо понимать смысл этих характеристик. Рассмотрим задачу, которая позволяет увидеть практическую значимость данных статистических характеристик.

Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности картофеля ц га в двух селах за последние годы таковы Село А 180,50,60,100, 170,60, 150, 90, 120,70, 60,160, 90, 170,90,180, 160. Село Б 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110. Какому из этих мест он отдаст предпочтение? Что же может послужить критерием принятия решения. Если посчитать среднее значение. То получим, что в селе А средняя урожайность немного выше, чем в селе Б. Но здесь нужно обратить внимание и на другой статистический показатель - размах ряда, т.к. мы можем заметить, что в селе А урожайность, по сравнению со средним значением, колеблется. В селе А разброс значений урожайности больше чем в селе Б. В селе А размах равен 130, а в селе Б размах равен 30. Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что, видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей ее стабильности.

Устойчивость урожая особенно важна для человека, еще не имеющего опыта приусадебного хозяйства. В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет размеров купленной обуви.

Были получены следующие результаты 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42. Представьте эти результаты в виде таблицы Размер Количество купленной обуви Итого 39 40 41 Какой размер обуви наиболее распространен? Исходя из вопроса, делаем вывод, что в данной задаче нам требуется найти моду ряда размеров, то есть узнать, какой размер пользуется большим спросом.

Таблица позволяет быстро это сделать. Бензоколонка работает круглосуточно без выходных. За январь выручка составила 71796000 р. Какова была в январе средняя выручка за сутки? В данной задаче необходимо понимать, что требуется найти. Раз требуется найти среднюю выручку, то делаем вывод, что необходимо найти среднее арифметическое. Но до этого учащиеся имели дело непосредственно с рядом данных. В данной ситуации мы имеем, что сумма выручки за 31 день составила 71796000 рублей.

Тогда мы можем посчитать среднее арифметическое 71796000 31 2 316000, это и будет средняя выручка за сутки. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел? Так как среднее арифметическое ряда чисел равно 15, а число его членов равно 10, то сумма членов равна 15 10, т.е. 150. После приписывания числа 37 сумма стала ровно 150 37, т.е. 187, а число членов ряда оказалось равным 11. значит, среднее арифметическое нового ряда равно 187 11, т.е. равно 17. Учащиеся должны уметь вычислять статистические характеристики по данным, представленным в таблице.

При изучении качества продукции выпущенной цехом, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Результаты проверки записали в виде таблицы Число бракованных деталей 0 1 2 3 4 Число ящиков 8 22 13 5 2 Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда данных.

Сначала выпишем упорядоченный ряд данных о количестве бракованных деталей в ящиках. Из таблицы мы вычисляем, что наш ряд содержит 8 нулей, 22 единицы и т.д. 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4. 8 22 13 5 Таким образом, чтобы вычислить среднее арифметическое, необходимо, вычислить сумму всех его членов, а количество всех членов ряда известно из условия задачи 50 ящиков. Сумма всех членов будет равна 0 8 1 22 2 13 3 5 4 2 71, а количество всех членов будет 50, тогда среднее арифметическое будет 71 50 1,42, т.е. чаще встречаются ящики, в которых может быть одна бракованная деталь.

Об этом же говорит нам и мода, которая равна 1. Чтобы вычислить размах, необходимо знать наибольшее и наименьшее значение, т.е. какое наибольшее и наименьшее число бракованных деталей может попасться в ящике, из таблицы мы видим, что это 0 и 4. тогда размах равен 4. Мода тоже очень легко вычисляется по таблице, так как сразу видно, что наибольшее число ящиков с одной бракованной деталью.

Не менее важным является и умение вычислять статистические характеристики по данным представленными в диаграмме. На диаграмме представлены данные о числе болельщиков, посетивших футбольные матчи на стадионе Динамо за последний месяц. Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча, округлив ее до сотен. По диаграмме мы можем сразу вычислить наибольшее и наименьшее значения и найти размах. Средняя посещаемость для данного случая это среднее арифметическое ряда этих данных.

К 7 классу учащиеся уже должны иметь навыки систематического перебора и быть знакомы с основными методами подсчета возможных вариантов. В 7 классе продолжаем решать задачи на подсчет возможных вариантов различными способами, а также вводим понятие перестановки. Раньше учащиеся уже сталкивались с перестановками, когда подсчитывали сколькими способами можно упорядочить несколько 2,3 или 4 элементов, но само понятие перестановки еще не вводилось. На данный момент мы уже знаем, количество перестановок для 2, 3 и 4-ех элементных множеств.

В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? Решим эту задачу, используя правило умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье - любой из двух оставшихся, а на четвертом месте остается последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4 3 2 1 24 способами.

Мы искали, сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. В рассмотренном примере мы фактически нашли число перестановок для четырех элементов. А что если множество состоит не из четырех, а например, из десяти элементов? Тогда всего будет 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3628880 перестановок. Т.е. произведение первых 10 натуральных чисел. Но для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок.

В математике есть специальное обозначение для краткой записи произведения нескольких первых натуральных чисел. Произведение, например, первых десяти натуральных чисел обозначают 10 и читается как десять факториал . 0! 1 по определению. Рассуждения, использованные в примере, показывают, что число перестановок для множества из 4 элементов равно 4 точно также для множества, например, из 10 элементов число перестановок равно 10 и вообще число перестановок для множеств из п элементов равно п Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов.

У нас есть 7 городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7 Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтоб учащиеся лучше овладели навыками работы с ними. Верно ли, что а 10! 10 9! б 10! 2! 5! в 12! 11! 12? 2 найдите значения выражения 16! 14! 3! В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6? Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4 но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3 Таким образом, число искомых чисел будет равно 4 3 Имеется 9 различных книг, четыре из которых - учебники.

Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом? Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать 6! способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6! 4! В теории вероятностей вновь обращаемся к экспериментам.

Можно использовать результаты экспериментов проведенных ранее, и провести новые опыты. Результаты проведенных экспериментов будут нагляднее, если по данным таблицы зависимость частоты появления результата острие вниз от количества экспериментов представить графически. Ось абсцисс - число экспериментов, ось ординат - частота появления результата острие вниз. Зная относительную вероятность события частотную можно прогнозировать частоту его появления в будущем.

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10000 рождений можно ожидать появления близнецов? Мы знаем частоту события родится близнец и знаем количество всех исходов, тогда пользуясь формулой, можем вычислить количество таких исходов из 10000. 10000 0,012 120. То есть мы можем предположить, что из 10000 рождений, в 120 случаях родятся близнецы.

Хотя это вовсе не обязательно так. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней? Мы знаем, сколько раз происходили события солнечный день и пасмурный день, чтобы вычислить их частоту необходимо знать количество всех летних дней. Но мы без проблем можем это сделать, так как точно знаем, сколько дней в июне, июле и августе вместе взятых, 92 дня. В школьной лотерее распространили 400 билетов, из которых выигрышными являются 50. а Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета? б Сколько следует приобрести билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, была бы равна 100 ? 4. Методика реализации стохастической линии в 8 классе.

Основные задачи По статистическим данным, представленным в таблице необходимо уметь находить основные статистические характеристики. Познакомить с еще одной статистической характеристикой - медианой ряда, формирование умений по ее нахождению Рассмотрение равновероятных событий, и введение классического определения вероятности.

Представление о геометрической вероятности В 7 классе мы уже рассматривали примеры, в которых основные статистические характеристики находили по таблицам. Рассмотрим таблицу 1, в которой содержатся оценки, полученные за последнюю контрольную работу учащимися 8 класса. Фамилия Оценка Фамилия оценка 1 Алексеев 4 8 Коковин 2 2 Антонова 5 9 Леонтьев 3 3 Борисов 3 10 Петрова 3 4 Владимиров 4 11 Николаев 3 5 Григорьева 2 12 Сергеев 5 6 Иванова 4 13 Тарасова 4 7 Ильин 4 14 Яковлев 5 По данной таблице вычисление статистических характеристик.

Данная таблица позволяет нам найти некоторые статистические характеристики, но для их нахождения есть более удобный способ - составление таблицы частот. То есть нужно подсчитать, сколько раз встречается каждая оценка в нашей таблице. Оценка Частота Оценка Частота 2 2 4 5 3 4 5 3 Таким образом, теперь будет легче вычислить статистические характеристики.

Например, для того чтобы вычислить среднее арифметическое не нужно складывать все числа из столбца оценка, а по полученной таблице частот нужно каждую оценку умножить на ее частоту и сложить все получившиеся произведения. Также сразу видно, что модой будет оценка 4 , так как она встречается чаще остальных. В 8 классе вводится новая статистическая характеристика - медиана. Введем это понятие на примере в таблице 1 показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир.

Таблица 1. Номер квартиры 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Расход электроэнергии в кВт ч. 85 64 78 93 72 91 72 75 82 Составим из полученных данных упорядоченный ряд 64, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93. В нем девять чисел. В середине ряда расположено число 78 слева от него записаны четыре числа и справа тоже четыре. Говорят, что число 78 является медианой. Пусть к данным о расходе электроэнергии добавились данные для десятой квартиры 10 квартира - 83 кВт ч. Получим новый упорядоченный ряд данных 64, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93. Этот ряд состоит из четного числа цифр и имеет два числа расположенных в середине - 78 и 82, тогда медианой этого ряда будет среднее арифметическое этих двух чисел - 78 82 2 80 Таким образом, медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если его упорядочить.

Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда. В таблице приведены расходы студента за 4 дня День Понедельник Вторник Среда Четверг Расходы 18 25 24 25 Определить какая статистическая характеристика находится в каждом задании а 18 25 24 25 92 92 4 23 23 р. б 18, 24, 25, 25 24 25 2 24,5 24,50. в 18, 25, 24, 25 25 р. г 25-18 7 7 р. Рассматриваем задачи, в которых требуется найти различные статистические данные мода, размах, среднее арифметическое. В том числе и с использованием диаграмм. Столбчатая диаграмма 1, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за летние каникулы.

Ответьте на вопросы а Кто из ребят прочел больше всех книг? б найдите размах этих данных. в Кто за летние каникулы не прочел ни одной книги? г Найдите среднее арифметическое этого ряда данных. д Найдите медиану этого ряда данных.

В предыдущих классах мы рассмотрели, как можно оценивать вероятность, исходя их статистических данных. Такая вероятность приближенно равна частоте наступления интересующего нас события при проведении большого числа одинаковых случайных экспериментов.

Но частота дает лишь приближенное значение вероятности. И кроме того, не всегда реально осуществить такую серию экспериментов. Существуют и другие способы вычисления вероятностей. Если все исходы случайного эксперимента равновероятны, тогда вероятности каждого такого исхода можно подсчитать, не проводя экспериментов. Примером является подбрасывание монеты. Этот эксперимент имеет два исхода - орел и решка, и они равновероятны. Тогда можно сказать, что вероятность каждого из них равна Ѕ, почти такой же результат получен и при проведении экспериментов. Аналогично для правильного кубика, все шесть исходов равновозможны, тогда вероятность каждого из них равна 1 6. Какова вероятность того, что при бросании правильного кубика выпадет четное число очков? Мы знаем, что при бросании кубика возможны 6 равновероятных исходов.

При этом только три из них приводят к наступлению события выпадет четное число очков. Поэтому вероятность такого события равна 3 6 1 2. Исходы наступления события, для которого вычисляем вероятность, будем называть благоприятными.

И дадим такое определение вероятности Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m n, где п - число всех возможных исходов эксперимента, а m - число всех благоприятных исходов Р А т п. Это классическое определение вероятности. Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил? Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25. Пусть А - событие учащемуся достался билет, к которому он не готов. Число таких исходов равно 25- 11 8 6. значит Р А 6 25 0,24. Также рассмотрим задачи, в которых для подсчета числа благоприятных или всех исходов необходимо воспользоваться комбинаторными формулами.

На трехместную скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина.

Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом? Количество всех возможных исходов - это число перестановок трех элементов, а оно равно 3! 6. Пусть А - событие мужчины оказались рядом, количество благоприятных исходов для этого события равно четырем когда оба сидят с одного края - 2 варианта и аналогично для другого тоже два варианта. Таким образом Р А 4 6 2 3. Кроме статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Рассмотрим следующий пример.

На квадратном столе выделен черный квадратик. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадратик, если ее бросить на стол наугад. Эта вероятность равно отношению площади черного квадрата к площади поверхности стола. Если, например, площадь стола равна 0,6мІ, а площадь черного квадрата - 0,04 мІ, то Р 0,04 0,6 1 15. Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень рис.1 и попадает. Какова вероятность того, что он попадет в тройку ? двойку ? единицу ? Возьмем площадь одного треугольника за 1. они все равны между собой, поэтому площадь всего большого треугольника 16. Вероятность того, что он попадет в 3 равна 1 16. вероятность попадания в 2 , будет равна 6 16 общая площадь треугольников с 2 будет равна 6 , и вероятность попадания в 1 равна 9 16. 5 Методика реализации стохастической линии в 9 классе.

Основные задачи На основе всех ранее полученных знаний показать их применение для статистического исследования Познакомить с такими понятиями как генеральная совокупность, репрезентативная выборка, выборочное обследование.

Интервальный ряд. Познакомить с новым видом графического представления результатов статистического исследования - полигонами и гистограммами. В 9 классе рассматриваются статистические исследования, на примерах, близких жизненному опыту учащихся. Это - Исследование качества знаний школьников , Удобно ли расположена школа? и Куда пойти работать Рассмотрим исследование качества знаний школьников, на примере изучения математической подготовки школьников.

Предположим, что в одном из регионов решили выяснить уровень знаний девятиклассников по математике и составили контрольную работу из 6 заданий. Довольно сложно организовать во всех школах региона одновременное проведение, проверку и обработку полученных результатов. Но, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации достаточно провести выборочное обследование, т.е. проверить лишь часть школьников. Все девятиклассники региона будут представлять собой генеральную совокупность, о которой будем судить по репрезентативной представительной выборке.

Обычно ограничиваются обследованием 5-10 всей изучаемой совокупности, при этом осуществляется случайный отбор, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности. Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Пусть в городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50. против каждой фамилии выставили число верно решенных задач и получили следующий ряд 4 2 0 6 2 3 4 3 3 0 1 5 2 6 4 3 3 2 3 1 3 3 2 6 2 2 4 3 3 6 4 2 0 3 3 5 2 1 4 4 3 4 5 3 2 3 1 6 2 2. На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы, и чтоб удобнее было анализировать информацию, в подобных случаях числовые данные ранжируют, располагая их в порядке возрастания.

В результате ранжирования ряд примет такой вид 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6. Мы видим, что ряд разбился на 7 групп.

Каждая группа представляет определенный результат эксперимента не решено ни одной задачи, решена одна задача и т.д. По этому ряду мы можем подсчитать частоту для каждого результата эксперимента. Например, частота появления события девятиклассник не решил ни одной задачи равна 3. Относительная частота равна отношению его частоты к объему выборки, т.е. 3 50, или 6 . Для наглядности, рассмотрим табличное и графическое представление результатов.

Число верно решенных задач 0 1 2 3 4 5 6 Частота 3 4 12 15 8 3 5 Относительная частота в 6 8 24 30 16 6 10 Построим диаграмму Кроме диаграмм для графического представления результатов используют так называемые полигоны. Для их построения в системе координат отмечают точки, абсциссы которых - результаты случайного эксперимента, а ординаты - соответствующие им частоты. Для нашего случая полигон будет выглядеть следующим образом Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.

Например, в выборке 10 школьников решили все задачи. Значит можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10 справятся со всеми шестью заданиями. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки. Рассмотрим, какие еще выводы мы можем сделать на основе полученных данных. Считаем, что школьник, решивший не менее двух задач, достиг обязательного уровня знаний по математике.

Судя по выборке таковых 12 15 8 3 5 43 человека, что составляет 86 от общего объема. Т.е мы можем предполагать, что 86 девятиклассников города имеют минимально необходимый уровень знаний. Также мы можем найти основные статистические характеристики моду - наиболее часто встречающийся результат в нашем примере это результат решены 3 задачи, среднее арифметическое также равно 3, т.е. в среднем девятиклассник решает 3 задачи.

Чем же важны подобные исследования? Например, городское управление образованием могут интересовать средние результаты по школам, процент учеников, не справляющихся с программой. Высшие учебные заведения наверняка заинтересует количество учеников с высоким уровнем математической подготовки. Преимущество обследования по репрезентативной выборке, в том, что не всегда выгодно проводить обследование всей генеральной совокупности, так как часто это бывает просто бессмысленно.

Например, при проверке качества продукции, проверяя пропечен ли хлеб, годны ли консервы, абсолютно бессмысленно проверять всю продукцию, так как тогда придется вскрыть, а фактически испортить саму продукцию. Рассматривая статистическое исследование вопроса Удобна ли расположена школа сталкиваемся с тем, что имеем много различных значений, поэтому ранжирование не позволит нам выявить характерные черты ряда данных. В этом случае строят интервальные ряды, при построении которых можно по-разному разбивать их на промежутки.

На основе полученных интервальных рядов строятся гистограммы. Если позволяет время можно рассмотреть вопрос Куда пойти работать в процессе рассмотрения которого вводятся такие понятия, как выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.